Anwendungen komplexer Zahlen

Lesedauer: 10 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Zuhilfenahme komplexer Zahlen und der für diese geltenden Rechenregeln kann zu deutlichen Vereinfachungen bei der Lösung mathematischer und physikalischer Probleme führen. Insbesondere trägt dazu die geometrische Interpretation der komplexen Zahlen bei (Gl. 39, Abbildung 16).

Beispiel 1

Die Summe oder Differenz zweier Winkel kann über die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 , z2 mit dem Betrag |z1 |, |z2| = 1 ausgedrückt werden

\({\underline z _1} · {\underline z _2} = 1 · {e^{i · {\phi _1} } } · 1 \cdot {e^{ \pm i · {\phi_2} } } = {e^{i · ({\phi _1} \pm {\phi _2})} }\) Gl. 58

So kann die Herleitung der Additionstheoreme für Trigonometrische Funktionen basierend auf der Anwendung von Gl. 39 erfolgen:

\( \begin{array}{ll} \underline{z_1} · \underline{z_2} = {e^{i · ({\phi _1} \pm {\phi _2})} } = & \left( {\cos \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right) + i · \sin \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right)} \right) \\ & = \left( {\cos \left( { {\phi _1} } \right) + i · \sin \left( { {\phi_1} } \right)} \right) · \left( {\cos \left( { {\phi _2} } \right) \pm i · \sin \left( { {\phi _2} } \right)} \right) \end{array} \) Gl. 59

Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich (d.h. Sortieren nach Real- und Imaginärteil):

\( \cos \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right)\,\, = \cos \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \cos \left( { {\phi _2} } \right)\, \mp \,\sin \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \sin \left( { {\phi _2} } \right) \) Gl. 60

\( \,\sin \left( { {\phi _1} \pm {\phi _2} } \right)\, = \cos \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \sin \left( { {\phi _2} } \right) \pm \sin \left( { {\phi _1} } \right) \cdot \cos \left( { {\phi _2} } \right) \) Gl. 61

Beispiel 2

Ähnlich gelagert ist eine grafische Aufgabenstellung. Ein Objekt soll um einen bestimmten Winkel Δφ gedreht werden.

Abbildung 18 Drehung eines Punktes im Koordinatensystem
Abbildung 18: Drehung eines Punktes im Koordinatensystem

Der Punkt P1 wird dann durch die komplexe Zahl z1 dargestellt. Die Rotation hingegen durch eine weitere komplexe Zahl, einen Rotator \( {\underline z _R} = 1 \cdot {e^{ \pm i \cdot \Delta \phi } } \).

Die Transformation kann dann durch eine einfache Multiplikation ausgeführt werden:

\( \begin{array}{l} \underline{z_1} · \underline{z_R} & = \left( { {x_1} + i · {y_1} } \right) · {e^{ \pm i · \Delta \phi } } \\ & = \left( { {x_1} + i · {y_1} } \right) · \left( {\cos \left( {\Delta \phi } \right) \pm \sin \left( {\Delta \phi } \right)} \right) \end{array} \) Gl. 62

ausmultiplizieren

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( { {x_1}\cos \left( {\Delta \phi } \right) \mp {y_1}\sin \left( {\Delta \phi } \right)} \right) + i\left( { \pm {x_1}\sin \left( {\Delta \phi } \right) + {y_1}\cos \left( {\Delta \phi } \right)} \right)\)

Sortieren nach Real- und Imaginärteil ergibt die neuen Koordinaten des rotierten Punktes:

\( \Re e: \quad {x_2} = {x_1} \cdot \cos \left( {\Delta \phi } \right) \mp {y_1} \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) \) Gl. 63

\( \Im m: \quad \,{y_2} = \pm {x_1} \cdot \sin \left( {\Delta \phi } \right) + {y_1} \cdot \cos \left({\Delta \phi } \right) \) Gl. 64

Beispiel 3:

Es sei die Normale zu einer gegebenen Geraden im Punkt P1(x1,y1) zu ermitteln.

Die Geradengleichung einer beliebigen Geraden durch den Punkt P1 lautet:

\( y - {y_1} = m\left( {x - {x_1} } \right) \) Gl. 65

Darin bedeutet m die Steigung der Geraden und entspricht dem Tangens des Winkels der von der Geraden und der x-Achse eingeschlossen wird.

\( m = \tan \alpha \) Gl. 66

Normale zu einer Geraden ermitteln

Die Normale ist ebenfalls eine Gerade, die die gegebene Gerade in P1 im rechten Winkel schneidet. Es ist also

\( m_\bot = \tan \left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right) \) Gl. 67

gesucht.

Unter Anwendung der Euler’schen Beziehung ist nun

\( \tan \phi = \frac{ {\sin \phi } }{ {\cos \phi } } = \frac{ {\Im m\left( { {e^{i\phi } } } \right)} }{ {\Re e\left({ {e^{i\phi } } } \right)} } \)

Angewandt auf Gl. 67

\( m_\bot = \tan \left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right) = \frac{ {\Im m\left( { {e^{i\left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right)} } } \right)} } { {\Re e\left( { {e^{i\left( {\alpha + \frac{π}{2} } \right)} } } \right)} } = \frac{ {\Im m\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {\cos \frac{π}{2} + i\sin {\frac{π}{2} } } \right)} \right)} } { {\Re e\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {\cos \frac{π}{2} + i\sin {\frac{π}{2}} } \right)} \right)} } \) Gl. 68

\( m_\bot = \frac{ {\Im m\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {0 + i \cdot 1} \right)} \right)} }{ {\Re e\left( {\left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {0 + i \cdot 1} \right)} \right)} } = \frac{ {\Im m\left( {i\cos \alpha - \sin \alpha } \right)} }{ {\Re e\left( {i\cos \alpha - \sin \alpha } \right)} } = - \frac{ {\cos \alpha } }{ {\sin \alpha } } = -\frac{1}{m} \) Gl. 69

Damit lautet die gesuchte Normalengleichung:

\( y - {y_1} = - \frac{1}{m}\left( {x - {x_1} } \right) \) Gl. 70

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