Gaussche Zahlenebene

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Gaussche Zahlenebene wird durch ein Kartesisches Koordinatensystem aufgespannt, bei dem die x-Achse die Realteile und die y-Achse die Imaginärteile komplexer Zahlen repräsentieren. So werden komplexe Zahlen als Punkte entsprechend der Größe ihrer Real- bzw. Imaginärteile aufgetragen (Abbildung 16).

Abbildung 16 Gaussche Zahlenebene (Koordinatensystem)
Abbildung 16: Gaussche Zahlenebene (Koordinatensystem)

Aus der Darstellung in kartesischen Koordinaten kann eine dazu alternative Darstellung in Polarkoordinaten abgeleitet werden:

\( \left| {\underline z } \right| = \sqrt { {x^2} + {y^2} } \quad \text{ und } \quad \phi = \arg \left( {\underline z } \right) = \arctan \frac{y}{x} \) Gl. 34

damit ist eine komplexe Zahl alternativ durch

\( \underline z = x + iy = \left| {\underline z } \right| \cdot \left( {\cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right)} \right) \) Gl. 35

darstellbar.

Anmerkung:
Die Winkelfunktion arctan ist eine zyklische Funktion. Jedem Funktionswert sind unendlich viele weitere Werte, die sich alle durch die Summanden ±2nπi vom Grundwert unterscheiden, zugeordnet.

Es ist also äquivalent, anstelle der Komponenten \( \Im m(\underline{z}) \) und \( \Re e(\underline{z}) \), den Betrag |z| und den Winkel φ anzugeben. Verkürzt wird eine komplexe Zahl in der sog. VERSOR-Schreibweise wie folgt dargestellt:

\( \underline z = r\angle \phi \) Gl. 36

Wobei r den Betrag der komplexen Zahl z darstellt.

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