Zusammenhang von Winkelfunktionen und Hyperbolikusfunktionen
Unter Zuhilfenahme der Eulerschen Formel kann ebenfalls geklärt werden, welche übergreifende Bedeutung dem sinh und cosh für imaginäre Argumente zukommt.
Mit
\( \sinh x = \frac{1}{2}\left( { {e^x} - {e^{ - x} } } \right); \quad \cosh x = \frac{1}{2}\left( { {e^x} + {e^{ - x} } } \right) \) Gl. 53
und einem imaginären Argument x = iφ ergibt sich unter Anwendung von Gl. 38
\( \sinh \left( {i\phi } \right) = \frac{1}{2}\left( { {e^{i\phi } } - {e^{ - i\phi } } } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \phi + i \cdot \sin \phi - \left( {\cos \phi - i \cdot \sin \phi } \right)} \right] = \frac{2}{2} \cdot i \cdot \sin \phi \) Gl. 54
folglich ist
\( \sinh \left( {i\phi } \right) = i \cdot \sin \phi \) Gl. 55
und
\( \cosh \left( {i\phi } \right) = \frac{1}{2}\left( { {e^{i\phi } } + {e^{ - i\phi } } } \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \phi + i \cdot \sin \phi + \left( {\cos \phi - i \cdot \sin \phi } \right)} \right] = \frac{2}{2} \cdot \cos \phi \) Gl. 56
folglich ist
\( \cosh \left( {i\phi } \right) = \cos \phi \) Gl. 57