Die Eulersche Formel

Lesezeit: 2 min Dr. Volkmar Naumburger Lizenz BY-NC-SA

Einen direkten Zusammenhang zwischen Kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten stellt die Eulerschen Formel her. Sie besagt, dass eine Exponentialfunktion e^x mit imaginären Exponenten als komplexe Summe von Winkelfunktionen nach folgender Gleichung ausgedrückt werden kann:

\( {e^{i\phi } } = \cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right) \) Gl. 38

daher

\( \underline z = x + iy = \left| {\underline z } \right| \cdot \left( {\cos \left( \phi \right) + i \cdot \sin \left( \phi \right)} \right) = \left| {\underline z } \right| \cdot {e^{i \cdot \phi } } \) Gl. 39

Beachte!

Die Winkelfunktionen (cos, sin, tan, cot) sind zyklische Funktionen. D.h. ausgehend von einem beliebigen Winkel zuzüglich ganzzahliger Vielfacher von π ergibt sich stets der gleiche Funktionswert. Diese Vielfachheit ist stets bei den Argumenten der Winkelfunktionen zu berücksichtigen.

\( \arg \left( {\underline z } \right) = \phi + m \cdot 2\pi ; \quad m \in Z \) Gl. 40

Meist wird vereinfachend mit dem Hauptwert m=0 gerechnet. Diese Einschränkung ist aber nicht immer richtig, wie die zwei folgenden Anwendungen zeigen.