Exponentielles Wachstum

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Für Berechnungen bei Exponentialfunktionen benötigt man oft die Potenzgesetze und den Logarithmus (so wie wir es bei den Exponentialgleichungen gesehen hatten). Rechnen wir ein paar Beispiele:

Beispielaufgabe 1: y = 10 bei f(x) = 2x

Wann ist y = 10 bei f(x) = 2x?

Lösung:

f(x) = 2x = 10

2x = 10

Nehmen wir den Logarithmus zur Lösung:

2xx = 10   | ln

ln(2x) = ln(10)

x·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)

x = ln(10) : ln(2)

x ≈ 3,3219

Antwort:

Bei x ≈ 3,3219 hat unsere Funktion den Wert y = 10.

Beispielaufgabe 2: Wachstum von Baktieren

Aufgabe: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 1000 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wann haben sich die Bakterien verzehnfacht?

Vorüberlegung: Anzahl an Bakterien z

0. Stunde: z = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 2 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 2·2 = 4000
3. Stunde: z = 1000 · 2·2·2 = 8000

Lösung:

0. Stunde: z = 1000 · 20 = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 21 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 22 = 4000
x. Stunde: z = 1000 · 2x = 10000

f(t) = 1000 * 2t

2t = 10   | Also nach wie viel Stunden t haben wir 10 Mal so viele Bakterien?

2t = 10   | ln
ln(2t) = ln(10)
t·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
t = ln(10) / ln(2)
t = 3,322 h
t = 3 h 20 min (aufgerundet, damit wir mindestens 10 mal so viele Bakterien haben)

Antwort: In 3 Stunden 20 Minuten hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

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