Exponentielles Wachstum

Beim „exponentiellem Wachstum“ vervielfacht sich der ursprüngliche Wert in jeweils gleichen Schritten immer um denselben Faktor.

Die Exponentialfunktionen eignen sich, um solche Wachstumsprozesse darzustellen.

~plot~ 0,25*2^x;[[-5|6|-2|8]] ~plot~

Um das exponentielle Wachstum zu berechnen benötigen wir die Potenzgesetze und den Logarithmus (so wie wir es bei den Exponentialgleichungen gesehen hatten). Nachfolgend ein paar Beispiele:

Beispiel: Wachstum von Baktieren

Aufgabe: Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 1000 Bakterien. Jede Stunde verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Wann haben sich die Bakterien verzehnfacht?

Vorüberlegung: Anzahl an Bakterien z

0. Stunde: z = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 2 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 2·2 = 4000
3. Stunde: z = 1000 · 2·2·2 = 8000

Lösung:

0. Stunde: z = 1000 · 20 = 1000
1. Stunde: z = 1000 · 21 = 2000
2. Stunde: z = 1000 · 22 = 4000
x. Stunde: z = 1000 · 2x = 10000

f(t) = 1000 · 2t

2t = 10   | Also nach wie viel Stunden t haben wir 10 Mal so viele Bakterien?

2t = 10   | ln
ln(2t) = ln(10)
t·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
t = ln(10) / ln(2)
t = 3,322 h
t ≈ 3 h 20 min

3 h 20 min sind aufgerundet, damit wir mindestens 10 mal so viele Bakterien haben.

Antwort: In 3 Stunden 20 Minuten hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

Beispiel: y = 10 bei f(x) = 2x

Wann ist y = 10 bei f(x) = 2x?

Lösung:

f(x) = 2x = 10
2x = 10

Nehmen wir den Logarithmus zur Lösung:

2x = 10   | ln
ln(2x) = ln(10)
x·ln(2) = ln(10)   | :ln(2)
x = ln(10) : ln(2)
x ≈ 3,3219

Antwort: Bei x ≈ 3,3219 hat unsere Funktion den Wert y = 10.