Warum ist Minus Minus Plus: -(-a) = +a?

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Dies ergibt sich bereits durch logische Ansätze: Wenn wir vereinbaren, dass ein Plus ein "Ja" ist und ein Minus ein "Nein", dann sehen wir: +(+a) → "ja" zum "ja", also muss es "ja" sein. Wir bestätigen sozusagen das erste Ja mit einem Weiteren.

Bei Minus Minus ist es hingegen: -(-a) → "nein" zum "nein". Das heißt, wir verneinen ein Nein, was dadurch zum "ja" wird. Die Negation bzw. Umkehrung von "nein" ist "ja".

Wir können uns diesen Sachverhalt auch mit Negationsfragen merken: "Hat dir der Film nicht gefallen?" (eine Nein-Frage). Wenn wir jetzt mit "Nein" antworten, so verneinen wir der Logik nach diese Aussage "Der Film hat mir nicht gefallen." zu: „Der Film hat mir nicht nicht gefallen.“ Folglich hat der Film gefallen.

Auch wenn es etwas kompliziert scheint, merkt euch kurz und bündig: -(-a) = +a als feststehend bzw. definiert.

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 1)

Wie wir in den Videos gesehen haben, ergibt sich ein positives Ergebnis, wenn wir zwei negative Zahlen miteinander multiplizieren. Für Nachweise hierfür gibt es verschiedene Ansätze. Eine anschauliche Herleitung der Regel von Minus · Minus = Plus kann man über das Distributivgesetz anführen:

a·(b + c) = a·b + a·c

// Beispielwerte einsetzen
// a = (-3), b = 4, c = (-4)

(-3)·(4 + (-4)) = (-3)·4 + (-3)·(-4)
(-3)·(4 - 4 ) = (-3)·4 + (-3)·(-4)
(-3)·0 = (-3)·4 + (-3)·(-4)
0 = (-3)·4 + (-3)·(-4)
0 = -3·4 + (-3)·(-4)
0 = -12 + (-3)·(-4)

Und jetzt fragt sich, welchen Wert muss (-3)·(-4) annehmen, damit es mit der -12 schließlich Null ergibt? Richtig, eine positive 12.

0 = -12 + (-3)·(-4)
0 = -12 + 12

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 2)

Ein weiterer, etwas längerer Weg ist der folgende, hierfür müsst ihr jedoch das Umstellen von Gleichungen verstanden haben:

+x = (-a)·(-b)
// bzw.
(-a)·(-b) = +x
// wir addieren auf beiden Seiten +(-a)·(b)
(-a)·(-b) +(-a)·(b) = x +(-a)·(b)
// jetzt klammern wir links -b und b aus
(-a)·( (-b)+(b) ) = x +(-a)·(b)
// -b + b ergibt Null
(-a)·0 = x + (-a)·(b)
// -a·0 ergibt auch Null
0 = x + (-a)·(b)
// das (-a)·(b) schreiben wir als -a·b
0 = x + (-a·b)
// jetzt addieren wir auf beiden Seiten +a·b
0 +a·b = x + (-a·b) +a·b
// es ergibt sich
a·b = x + ( -a·b + a·b )
a·b = x + ( 0 )
a·b = x
+x = a·b

Wie wir sehen, steht am Anfang +x = (-a)·(-b) und am Ende +x = a·b, beide haben den gleichen Wert, sind also positiv.

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 3)

Wie wir im Video gesehen haben, gilt bei der Division, dass jede Zahl durch sich selbst 1 ergibt, also:

x : x = 1 (Ausnahme für x = 0)

Dies gilt auch für negative Zahlen, also zum Beispiel (-3) : (-3) = 1

Und richtig, das Ergebnis 1 ist positiv, also +1

(-3) : (-3) = +1

Negativer Wert durch negativer Wert ergibt positiven Wert. Hier könnte man (da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist) schlussfolgern, dass Minus mal Minus dann auch Plus ergeben muss.

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