Warum ist Minus Minus Plus: -(-a) = +a?

Es ergibt sich ein positives Ergebnis, wenn wir eine negative Zahl negativ machen (oder wenn wir zwei negative Zahlen miteinander multiplizieren).

Dies ergibt sich durch logische Ansätze:

Wenn wir vereinbaren, dass ein Plus ein "Ja" ist und ein Minus ein "Nein", dann sehen wir: +(+a) → "ja" zum "ja", also muss es "ja" sein. Wir bestätigen sozusagen das erste Ja mit einem Weiteren.

Bei Minus Minus ist es hingegen: -(-a) → "nein" zum "nein". Das heißt, wir verneinen ein Nein, was dadurch zum "ja" wird. Die Negation bzw. Umkehrung von "nein" ist "ja".

Wir können uns diesen Sachverhalt auch mit Negationsfragen merken:

„Hat dir der Film nicht gefallen?“ (eine Nein-Frage). Wenn wir jetzt mit "Nein" antworten, so verneinen wir der Logik nach diese Aussage „Der Film hat mir nicht gefallen.“ zu: „Der Film hat mir nicht nicht gefallen.“ → Folglich hat der Film gefallen.

Auch wenn es etwas kompliziert scheint, merkt euch kurz und bündig: -(-a) = +a als feststehend bzw. definiert.

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 1)

Eine anschauliche Herleitung der Regel von Minus · Minus = Plus kann man über das Distributivgesetz anführen:

a·(b + c) = a·b + a·c

Beispielwerte einsetzen

a = (-3), b = 4, c = (-4)

a ·(b + c ) = a ·b + a · c
(-3)·(4 + (-4)) = (-3)·4 + (-3)·(-4)

(-3)·(4 - 4) = (-3)·4 + (-3)·(-4)
(-3)·0 = (-3)·4 + (-3)·(-4)
0 = (-3)·4 + (-3)·(-4)
0 = -3·4 + (-3)·(-4)
0 = -12 + (-3)·(-4)

Und jetzt fragt sich, welchen Wert muss (-3)·(-4) annehmen, damit es mit der -12 schließlich 0 ergibt? Richtig, eine positive 12.

0 = -12 + (-3)·(-4)
0 = -12 + 12

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 2)

Ein weiterer, etwas längerer Weg ist der folgende, hierfür müsst ihr jedoch das Umstellen von Gleichungen verstanden haben:

+x = (-a)·(-b)
// bzw.
(-a)·(-b) = +x
// wir addieren auf beiden Seiten +(-a)·(b)
(-a)·(-b) +(-a)·(b) = x +(-a)·(b)
// jetzt klammern wir links -b und b aus
(-a)·( (-b)+(b) ) = x +(-a)·(b)
// -b + b ergibt Null
(-a)·0 = x + (-a)·(b)
// -a·0 ergibt auch Null
0 = x + (-a)·(b)
// das (-a)·(b) schreiben wir als -a·b
0 = x + (-a·b)
// jetzt addieren wir auf beiden Seiten +a·b
0 +a·b = x + (-a·b) +a·b
// es ergibt sich
a·b = x + ( -a·b + a·b )
a·b = x + ( 0 )
a·b = x
+x = a·b

Wie wir sehen, steht am Anfang +x = (-a)·(-b) und am Ende +x = a·b, beide haben den gleichen Wert, sind also positiv.

Minus mal Minus gleich Plus (Ansatz 3)

Bei der Division gilt, dass jede Zahl durch sich selbst 1 ergibt, also:

x : x = 1 (Ausnahme ist x = 0)

Dies gilt auch für negative Zahlen, also zum Beispiel (-3) : (-3) = 1

Und richtig, das Ergebnis 1 ist positiv, also +1.

(-3) : (-3) = +1

Negativer Wert durch negativer Wert ergibt positiven Wert.

Hier könnte man (da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist) schlussfolgern, dass Minus mal Minus dann auch Plus ergeben muss.