Sinussatz Herleitung

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Der Sinussatz ist ein Hilfsmittel, um schnell fehlende Seiten und Winkel in allgemeinen Dreiecken über Verhältnisse auszurechnen. Er spielt in der Dreiecksberechnung und der Trigonometrie eine wichtige Rolle.

Erinnern wir uns, wie der Sinus definiert ist: sin(α) = Gegenkathete / Hypothenuse = GK / HY. Wer sich nicht daran erinnert, schaut sich unbedingt den Sinus jetzt noch mal an.

Wenn wir nun den Sinus für die beiden rechtwinkligen Teildreiecke in der Abbildung aufstellen, so erhalten wir:

sin(α) = GK / HY = hc / b

sin(β) = GK / HY = hc / a

Lasst uns beide Gleichungen nach hc umstellen:

sin(α) = hc / b → hc = b·sin(α)

sin(β) = hc / a → hc = a·sin(β)

Als nächstes setzen wir hc gleich:

hc = hc

b·sin(α) = a·sin(β) | umstellen mit : sin(α)

b = a·sin(β) : sin(α) | umstellen mit : sin(β)

b:sin(β) = a:sin(α)

a / sin(α) = b / sin(β)

Und das ist schon der erste Teil des Sinussatzes.

Bringen wir Seite c und sin(γ) noch in die Gleichung hinein. Wir zeichnen die Höhe ha ein und stellen danach die entsprechende Gleichung auf:

sin(γ) = GK / HY = ha / b → ha = sin(γ) · b

sin(β) = GK / HY = ha / c → ha = sin(β) · c

ha = ha

sin(γ) · b = sin(β) · c | :b und :c

sin(γ) / c = sin(β) / b | Kehrwert

c / sin(γ) = b / sin(β)

Und jetzt können wir in Zusammenhang bringen, wenn:

a / sin(α) = b / sin(β) und c / sin(γ) = b / sin(β), dann gilt:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

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