Sinus - Einführung

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Wenn wir uns ein Dreieck nehmen und die Winkel gleich lassen, jedoch die Größe des Dreiecks ändern (die Seitenlängen verändern sich), stellen wir fest:

Dreiecke mit Winkel 30 Grad

dass das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse immer gleich bleibt. Zur Erinnerung: Um ein Verhältnis zu bilden, dividiert man, in unserem Fall die Gegenkathete durch die Hypotenuse, also GK / HY.

Für das obige Beispiel haben wir bei einem Winkel von 30° die Verhältnisse: GK / HY = 3 cm / 6 cm = 4 cm / 8 cm = 5 cm / 10 cm = 0,5. Also immer 0,5 und zwar egal, welche Dreiecksgröße wir wählen.

Dreieck Verhältniswerte Sinus

Dieses Verhältnis nennt man nun den Sinuswert und man schreibt: sin(30°) = 0,5

Die Formel für den Sinus lautet allgemein:

\( \sin(α) = \frac{ \text{Gegenkathete} }{ \text{Hypotenuse} } \)

Dieser Wert gibt uns an, wie lang die Gegenkathete im Vergleich zur Hypotenuse ist.

Haben wir einen Winkel von 30° und wir wissen, die Hypotenuse ist 8 cm lang, so können wir aufstellen: \( \sin(30°) = 0,5 = \frac{\text{GK}}{\text{HY}} \). Damit \( \text{GK} = 0,5·\text{HY} \). Die Gegenkathete ist also 0,5 mal so lang wie die Hypotenuse (0,5 = 50 % von ihrer Länge). Mit den Werten: GK = 0,5·HY = 0,5·8 cm = 4 cm (Länge der Gegenkathete).

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