Ungleichungen: Kleiner gleich und größer gleich

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Es gibt noch zwei Erweiterungen für die Verhältniszeichen:

Das Zeichen heißt: … ist kleiner gleich

Das Zeichen heißt: … ist größer gleich

Diese Zeichen sagen aus, dass der Term wahr ist, wenn für beide Seiten das jeweilige Verhältniszeichen für "kleiner als" oder "größer als" gilt, und aber auch, wenn für beide Seiten Gleichheit gilt. Wir haben also zwei Terme, die als Gleichung und Ungleichung verknüpft sind.

Beispiel:

x + 2 ≤ 6

Wir können also unseren Term aufteilen in:

x + 2 < 6 und x + 2 = 6

Lösen wir einmal einzeln auf:

x + 2 < 6 | -2

x < 4

und

x + 2 = 6 | -2

x = 4

Wir sehen, dass wir die selben Äquivalenzumformungen benutzt haben. Das Ergebnis können wir zusammenfassen:

x < 4 und x = 4

Das ist das Selbe wie:

x ≤ 4

Wir können also die Umformungen auch mit dem Anfangsterm durchführen:

x + 2 ≤ 6 | -2

x ≤ 4

Der Term ist somit für alle x, die kleiner oder gleich 4 sind wahr.

Noch einige Beispiel hierzu:

Die Ungleichung 8 + x > 8 hat die Lösung: x > 0, das heißt, alle positiven Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr. Durch Verwendung des Größer-Gleich-Zeichens (8 + x ≥ 8) kommt für die Lösungsmenge auch noch die 0 hinzu.

Die Ungleichung 8 + x < 8 hat die Lösung: x < 0, das heißt, alle negativen Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr. Durch Verwendung des Kleiner-Gleich-Zeichens (8 + x ≤ 8) kommt auch noch die Null zur Lösungsmenge hinzu.

Bei der Ungleichung 8 + x ≠ 8 sollen die Werte beider Terme verschieden bleiben. Somit kommen alle Zahlen außer der 0 in Frage, da die Null dazu führen würde, dass 8 ≠ 8 da steht, doch 8 = 8.

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