Ungleichungen mit Variablen
Wir können wie in Gleichungen auch in Ungleichungen Variablen verwenden (sogenannte „Aussageform“).
Wir können zum Beispiel schreiben:
x > 5
Diese Ungleichung ist wahr für alle x, die größer als 5 sind. Das heißt, Lösungen wären zum Beispiel x = 6, x = 7 oder x = 8.
Es gibt hier jedoch noch unendlich viele andere Werte, die als Lösung gelten.
Ungleichungen können also mehrere bis unendlich viele Lösungen besitzen.
Es gibt aber auch kompliziertere Ungleichungen, bei denen man nicht direkt sieht, für welche x-Werte die Ungleichung wahr ist. Zum Beispiel:
2·x - 5 > 2
Wenn wir nun die Lösungen für x bestimmen wollen, müssen wir wieder Äquivalenzumformungen durchführen. Wir formen unsere Ungleichung so um, dass wir x alleine auf einer Seite zu stehen haben:
2·x - 5 > 2 | + 5
2·x - 5 + 5 > 2 + 5
2·x + 0 > 2 + 5
2·x > 7 | : 2
x > 3,5
Unsere Ungleichung ist somit erfüllt für alle x, die größer als 3,5 sind. Also zum Beispiel x = 3,6 oder x = 4.
Machen wir noch die Probe für x = 4, indem wir diesen Wert für x einsetzen:
2·x - 5 > 2 | x = 4
2·4 - 5 > 2
8 - 5 > 2
3 > 2
Diese Aussage ist wahr. Unsere Lösung mit x = 4 ist korrekt.