Vorrang von Klammern

Im Folgenden lernen wir eine weitere Vorrangregel kennen, sie lautet: Vorrang von Klammern. Das bedeutet:

Geklammerte Terme müssen vor Potenzen, Multiplikationen, Division, Additionen und Subtraktionen gerechnet werden. Die Klammern haben Vorrang vor diesen Rechenoperationen.

Zeigen wir den falschen und richtigen Weg anhand eines Beispiels:

Falsch wäre: 4 · (3 + 7) ≠ 12 + 7

Stattdessen gilt: 4 · (3 + 7) = 4 · 10

Der Term innerhalb der Klammer (3 + 7) muss zuerst berechnet werden.

Mehrfache Klammerung

Terme können wir beliebig umklammern, um festzulegen, was als erstes berechnet werden soll.

Auch mehrfache Klammerungen sind möglich.

Wir können zum Beispiel schreiben: 3 · (8 - (1 + 5)). Hier ist es sinnvoll, den Term der innenliegenden Klammer zuerst zu berechnen. Wir rechnen Klammern meistens „von innen nach außen“.

\( 3 · (8 - \underbrace{(1 + 5)}_{ \textcolor{#00F}{6} }) \\ = 3 · \underbrace{(8 - \textcolor{#00F}{6})}_{ \textcolor{#F0A}{2} } \\ = 3 · \textcolor{#F0A}{2} \\ = 6 \)

Zur Kontrolle eurer eigenen Rechnungen könnt ihr den Rechenfreund benutzen. Dieser Rechner beachtet auch Klammern in der richtigen Reihenfolge.

Alternativ könnten wir tatsächlich auch von außen anfangen, die Klammer aufzulösen, und zwar mit Hilfe vom Distributivgesetz. Dies wird dann jedoch unnötig kompliziert:

= 3 · (8 - (1 + 5))
= 8 - (1 + 5)
= 8 - 1 - 5
= 24 - 3 - 15
= 6

Arten von Klammern

Es ist übrigens erlaubt, statt runder Klammern (…) auch andere Klammern zu setzen. Zur Verfügung stehen allgemein:

  • Runde Klammer (…)
  • Eckige Klammer […]
  • Geschweifte Klammern {…}

Die Verwendung der verschiedenen Klammern kann helfen, den Überblick zu bewahren. Zum Beispiel:

Schwierig lesbar (wo fängt ein Klammerterm an, wo hört er auf ist schwierig zu erkennen):

(((2 + 4)·3 + 4)-4) · (1 + 12·((1 + 4) - 7))

Besser lesbar ist hingegen:

{[(2 + 4)·3 + 4]-4} · {1 + 12·[(1 + 4) - 7]}

Denn man kann die passende schließende Klammer viel schneller finden.