STE01: 3D Koordinatensystem

Inhalte:

Laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Erweitert man das zweidimensionale Koordinatensystem um eine Achse nach oben (z-Achse), so kommt man in das Dreidimensionale. Mehr hierzu lernt ihr in den Videos:

STE01-1: 3D-Koordinatensystem / Koordinatenebenen / Punkte im Raum

Was ist Stereometrie (Raumgeometrie). Wie ist die Dimension definiert. Wir stellen 2D- und 3D-Koordinatensystem gegenüber. Einzeichnen von Punkten in 3D (Breite, Länge, Höhe). Quader in 3D. Wir lernen die Ebene und Koordinatenebenen kennen. 8 Oktanten. Rechtssystem/Linkssystem.

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Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • Koordinaten von Punkten im 3D-Koordinatensystem ablesen. Koordinatenquader als Hilfe zum Ablesen. Namen der Achsen x, y, z oder x1, x2, x3.
  • Wir zeichnen einen Quader auf das Blatt Papier, also Karopapier wie im Unterricht. Breite und Höhe werden direkt eingetragen, die Länge nach hinten mit 45 Grad und halbiert.
  • Wie zeichnet man ein 3D-Koordinatensystem auf das Blatt Papier. Die y-Achse waagerecht, die z-Achse senkrecht, die x-Achse meist im Winkel von 45 Grad. Einteilung der x-Achse. Eintragen von Punkten, erstellen eines Dreiecks. Vorstellung Hilfsprogramm Schrägbildzeichner.
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Wissen zur Lektion

Vorab der Tipp: Zum Ausdrucken findet ihr kariertes Zeichenpapier und 3D-Koordinatensysteme hier.

Befasst man sich mit Körpern und möchte man sich diese mathematisch veranschaulichen, nutzt man das 3D-Koordinatensystem, mit dem sich die Körper genau beschreiben lassen. Die sogenannte Raumgeometrie oder auch Stereometrie leitet sich dabei aus dem griechischen ab und bedeutet nichts anderes als “stereos” (griech.) = fest, räumlich und “metrein” (griech.) = messen, also den Raum vermessen.

Das Besondere gegenüber der Planimetrie (der ebenen Geometrie), wo wir im zweidimensionalen Arbeiten und unsere Punkte im Koordinatensystem über A(x|y) bestimmt werden, ist, dass wir eine dritte Komponente erhalten. Ein Punkt im 3D-Koordinatensystem wird also über B(x|y|z) bestimmt, wobei z die Höhe darstellt, die auf den Betrachter zuläuft.

Koordinatensystem ohne Z

Da man auf einem zweidimensionalen Blatt Papier Schwierigkeiten hat, eine Höhe “nach oben herauskommen” zu lassen, wird ein 3D-Koordinatensystem in Schrägansicht dargestellt.

Koordinatensystem Schrägansicht

Nun lassen sich einem Punkt drei Koordinaten zuordnen, die dessen Position eindeutig im dreidimensionalen Koordinatensystem festlegen. So lassen sich auch Körper exakt beschreiben und Berechnungen durchführen.

Koordinatensystem Punkt C


Im Folgenden sei ein Quader dargestellt, den wir auf ein Blatt Papier übertragen wollen (wir verzichten auf das eigentliche Koordinatensystem) und nutzen die Schrägansicht, um einen 3D-Effekt zu erhalten.

Quader zeichnen 3

Um diesen Quader in dieser Form zu erhalten, müssen wir schrittweise vorgehen. Zuerst zeichnen wir uns die Breite und Höhe des Quaders wie gewohnt in 2D:

Quader zeichnen 1

Daraufhin tragen wir in einem 45°-Winkel die Länge des Quaders ab (schräg nach hinten). Dabei wird die Länge halbiert:

Quader zeichnen 2

Um das Bild abzuschließen, tragen wir die fehlenden Längen ein und setzen im Hintergrund noch das Rechteck ab. Dabei ist es üblich, die verdeckten Seiten gestrichelt zu zeichnen, um einen besseren 3D-Effekt zu erzeugen.

Quader zeichnen 3

Mathe-Programme

Alle im Video gezeigten Grafiken könnt ihr selbst aufrufen und sogar verändern:

In der Formelsammlung 3.0 findet ihr die Programme, die wir im Video einsetzen: Schrägbildzeichner und Geoknecht 3D. Damit könnt ihr eure eigenen Aufgaben lösen, ausdrucken oder einfach kontrollieren.

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Zu dieser Lektion gibt es keine Aufgaben. Ihr solltet jedoch die 3D-Programme ausprobieren und eigene geometrische Welten erstellen (nutzt Geoknecht 3D), dann bekommt ihr ein Gefühl, wie die Koordinaten funktionieren und wie man das Koordinatensystem benutzt.

Zu dieser Lektion gibt es keine Aufgaben.

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Untertitel

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Tags: Kartesisches räumliches Koordinatensystem
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