VEK02: Vektoren bestimmen

In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:


Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir die Einführung zu den Vektoren gesehen haben und nun wissen, was ein Vektor ist, können wir mehr zum Thema kennenlernen: Wir bestimmen die Komponenten eines Vektors aus 2 Punkten, wir lernen Verbindungs-, Orts- und Nullvektor kennen und wir betrachten uns, wie man die Vektorlänge/Vektorbetrag berechnen kann. Erfahrt alles hierzu in den Videos.

Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • VEK02-1 Vektoren bestimmen - Verbindungsvektor, Ortsvektor

    Wir bestimmen einen Vektor (seine Komponenten x und y) aus den Koordinaten zweier Punkte. Wir lernen die Begriffe Verbindungsvektor, Ortsvektor und Verschiebungsvektor kennen.

  • VEK02-2 Vektoren bestimmen - Vektorlänge, Nullvektor

    Die Länge eines Vektors (auch Vektorbetrag genannt) kann mit Hilfe vom Satz des Pythagoras berechnet werden. Hierzu ziehen wir die Wurzel aus den Komponenten x² plus y². Wenn ein Vektor die Länge Null hat, sprechen wir vom Nullvektor.

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Wissen zur Lektion

Verbindungs- und Verschiebungsvektor

Der Verbindungsvektor verbindet 2 Punkte miteinander. Der Verschiebungsvektor verschiebt einen Punkt auf einen anderen. Grundsätzlich handelt es sich bei den beiden Vektoren um den gleichen Vektor, es ist jedoch uns überlassen, welchen Begriff wir wählen, um den Vektor zu beschreiben.

Verbindungsvektor

Ortsvektor

Jeder Punkt kann mit einem Vektor, sogenannter Ortsvektor, beschrieben werden. Der Ortsvektor p(x, y) hat die gleichen Werte wie der Punkt P(x|y), das heißt die Komponenten des Vektors entsprechen den Koordinaten des Punktes. Für ein Beispiel siehe Punkt B und Vektor OB in der folgenden Grafik:

Ortsvektor

Der Ursprung (lat. origo) wird mit O (also Großbuchstabe O) bezeichnet.


Nullvektor

Der Nullvektor hat keine Länge und damit auch keine Richtung. Er kann nicht als Pfeil dargestellt werden. Wir müssen ihn definieren, da wir ihn zum Beispiel bei der Vektoraddition und Vektorsubtraktion benötigen.

Nullvektor

Wir notieren ihn mit einem kleinen o und dem Pfeil darüber.

Für Vektoren gilt: v = v + o = o + v = v
sowie: o = v - v = o

Vektorlänge

Die Vektorlänge (auch Vektorbetrag genannt) ermitteln wir mit Hilfe der Komponenten x und y des Vektors. Hierzu verwenden wir den Satz des Pythagoras, siehe Abbildung:

Vektorlänge bestimmen - Vektorbetrag

Die Länge des Vektors notieren wir, indem wir Betragsstriche um den Vektorbuchstaben setzen, z. B. |a| = 3.

Mathe-Programme zu Vektoren

Im Folgenden findet ihr die beiden Matheprogramme aus den Videos:

  • Vektor bestimmen
    Vektor bestimmen
    Dieses Programm berechnet die Komponenten eines Vektors aus den Koordinaten der zwei Punkte A und B. Ist der Anfangspunkt im Koordinatenursprung, so spricht man vom Ortsvektor.
  • Vektorlänge (Vektorbetrag)
    Vektorlänge (Vektorbetrag)
    Hier wird der Satz des Pythagoras benutzt, um die Vektorlänge zu bestimmen. Die Vektorlänge ergibt sich aus |c| = √(x²+y²).
Vektoren 3D Komponenten
Mit diesem 3D-Programm kann man alle 3 Komponenten des Vektors einstellen. Zusätzlich kann die Position des Vektors verändert werden, wir sprechen dann von Orts- und Verschiebungsvektor.
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Übungsaufgaben

A: Allgemeine Fragen

Mit diesen Fragen könnt ihr das in dieser Lektion erlernte Wissen überprüfen.

1. Was ist ein Ortsvektor?

2. Was ist ein Verbindungsvektor?

3. Was versteht man unter dem Begriff Verschiebungsvektor?

4. Wie bezeichnet man den Punkt, der im Ursprung liegt? ( Statt A(0| 0) schreibt man... )

5. Es sind zwei Vektoren gegeben. Beide Vektoren unterschieden sich nur im Vorzeichen, wie zum Beispiel \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2\\5 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} -2\\-5 \end{pmatrix} \). Was lässt sich über die Länge solcher Vektoren aussagen?

B: Vektor bestimmen

Es sind jeweils zwei Punkte gegeben. Berechne den Vektor vom ersten Punkt ausgehend zum zweiten Punkt.

1. A(0|0), B(3|7)

2. A(6|3), B(-2|4)

3. A(-5|-5), B(9|1)

4. A(-12|5), B(6|6)

5. A(8|0), B(1|1)

C: Vektorlänge berechnen

Berechne die Länge der Vektoren. Zum Berechnen der Wurzel kannst du einen Taschenrechner benutzen.

1. \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \)

2. \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

3. \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \)

4. \( \vec{d} = \begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix} \)

5. \( \vec{e} = \begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix} \)

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: einfache Vektorrechnung für Schüler

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