Additionsverfahren (Lösen von LGS)

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Bei dem Additionsverfahren lösen wir ein LGS, indem wir Gleichungen des LGS miteinander addieren und damit Variablen beseitigen.

Bauen wir uns nun aus den bereits im Beispiel benutzten Gleichungen ein Gleichungssystem mit den zwei Variablen x und y:

9 + 2 = 11
15 + 8 = 23

Wie bereits oben bei den Rechenoperationen erwähnt, können wir die Zahl 9 auch als 3·3 darstellen und die Zahl 15 als 5·3. Wir setzen also wieder x = 3.

Mit diesem festgelegtem x können wir die Zahl 9 als 3·x und die Zahl 15 als 5·x darstellen. Setzen wir das in die beiden Gleichungen ein, dann erhalten wir:

I. 3·x + 2 = 11
II. 5·x + 8 = 23

Jetzt sagen wir noch, dass y = 2 ist. Es ist 8 = 4·2 = 4·y. Das setzen wir auch ein:

I. 3·x + y = 11
II. 5·x + 4·y = 23

Wir haben zwei lineare Gleichungen, die aus denselben Variablen bestehen, damit ein gültiges LGS. Wir kennen die Lösungen bereits (x = 3 und y = 2), jedoch wollen wir jetzt einmal die Lösungen berechnen, unter der Annahme sie seien uns nicht bekannt.

Da nach einer Addition der beiden Gleichungen, wie man mit reinem Hinschauen erkennen kann, keine der Variablen wegfällt, müssen wir eine der Gleichungen zunächst umformen. Dies machen wir mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.

Zur Hilfe schreiben wir uns noch den Faktor 1 vor unser y in der ersten Gleichung:

I. 3·x + 1·y = 11
II. 5·x + 4·y = 23

Wählen wir Gleichung I als Gleichung, die umgeformt werden soll. Wir multiplizieren mit (-4), da wir wissen, dass 1·y·(-4) + 4·y = 0 ist und somit bei Addition der beiden Gleichungen das y wegfällt.

I. 3·x + 1·y = 11 |·(-4)
II. 5·x + 4·y = 23

Wir nennen die umgeformte Gleichung I' und multiplizieren alle Elemente der Gleichung mit (-4):

I. 3·x + 1·y = 11 |·(-4)
I'. -12·x + (-4)·y = -44

Schreiben wir beide Gleichungen untereinander sehen wir direkt, dass unser y bei einer Addition der beiden Gleichungen wegfällt:

I'. -12·x + (-4)·y = -44
II. 5·x + 4·y = 23
(-4)·y + 4·y = 0

Wir addieren nun beide Gleichungen:

I'. + II.
(-12·x + (-4)·y ) + (5·x + 4·y) = -44 + 23
-12·x -4·y + 4·y + 5·x = -44 + 23
-12·x + 0 + 5·x = -44 + 23

Als Ergebnis der Addition erhalten wir:

-7·x = -21

Aus dieser Gleichung erhalten wir nun x = 3 (auch wenn wir die Addition untereinander geschrieben hätten, wären wir auf dasselbe Ergebnis gekommen).

Da wir jetzt eine der Variablen kennen, können wir diese in eine der beiden Gleichungen, die wir ursprünglich hatten, einsetzen:

I. 3·x + 1·y = 11
II. 5·x + 4·y = 23

Setzen wir x = 3 in die erste Gleichung ein, dann haben wir eine Gleichung mit einer Variablen, die wir durch reines Umformen auflösen können:

I. 3·x + 1·y = 11 | x = 3
3·3 + 1·y = 11
9 + y = 11
y = 2

Als Lösung des LGS erhalten wir:

x = 3 und y = 2

Dies lässt sich auch als Lösungsmenge L = { (3|2) } schreiben.

Da wir bereits schon vorher wussten, dass diese Lösung richtig ist, erübrigt sich die Probe. Wer möchte, kann natürlich jetzt noch einmal unsere berechneten Werte für x und y in die beiden Gleichungen einsetzen und sehen, dass diese Werte die Gleichungen lösen.

Merke: Wer die Probe macht, steht immer auf der sicheren Seite.

Rechner für LGS und Gauß-Verfahren

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