Gauß-Verfahren mit Koeffizientenmatrix

Lesedauer: 15 min | Vorlesen

Da es viel Schreibarbeit bedeutet und unübersichtlich sein kann, bei jeder Umformung das gesamte lineare Gleichungssystem (LGS) hinzuschreiben, kann man die sogenannte erweiterte Koeffizientenmatrix benutzen, um ein LGS darzustellen und schneller zu lösen. Wie genau das funktioniert und was eine erweiterte Koeffizientenmatrix ist, erklären wir an folgendem Beispiel.

Wir haben ein LGS, das so aussieht:

LGS mit Koeffizienten

Die farbig markierten Zahlen, also die Vorfaktoren der Variablen, sind Koeffizienten. Eine Matrix kann man sich generell als eine Art Tabelle vorstellen.

Wir schreiben unser LGS jetzt einmal ab, jedoch lassen wir die Variablen und die Pluszeichen wegfallen (Wichtig: Nur die Pluszeichen lassen wir weg, die Minuszeichen bleiben an den Koeffizienten erhalten). Das Gleichheitszeichen ersetzen wir durch einen senkrechten Strich. Um diese “Tabelle“ setzen wir jetzt noch Klammern und fertig ist die erweiterte Koeffizientenmatrix:

erweiterte koeffizientenmatrix

Die Koeffizientenmatrix heißt übrigens erweitert, da wir auch die Werte nach dem Gleichheitszeichen in die Matrix übernommen haben.

Mit dieser erweiterten Koeffizientenmatrix können wir nun dieselben Operationen durchführen wie mit einem LGS (siehe Rechenoperationen). Wir können Gleichungen (Zeilen) addieren, Gleichungen (Zeilen) vertauschen, Variablen (Koeffizienten) vertauschen und Äquivalenzumformungen durchführen.

Wichtig: Beim Vertauschen von Variablen (bzw. deren Koeffizienten) müssen wir zwingend ganze Spalten vertauschen.

Lösen wir unser LGS in Form der erweiterten Koeffizientenmatrix mit dem uns nun bekannten Gauß-Verfahren auf:

erweiterte koeffizientenmatrix

Wir eliminieren nun die ersten Koeffizienten: 4 in der zweiten Zeile und -2 in der dritten Zeile.

Multiplikation von I mit (-2) und Addition auf II:

koeffizientenmatrix umformung gauss

Diese neue Zeile setzen wir für Zeile II in die Matrix ein:

koeffizientenmatrix einsetzen zeile

Addieren wir I auf III und setzen das Ergebnis anschließend für III in der Koeffizientenmatrix ein:

koeffizientenmatrix umformung zeilen

Um nun in der dritten Zeile die 6 in der zweiten Spalte zu entfernen, multiplizieren wir die zweite Zeile mit (-3) und addieren diese auf die 3. Zeile. Das Ergebnis setzen wir für Zeile III in der Koeffizientenmatrix ein:

koeffizientenmatrix zeilen 2 und 3

Wir sehen, dass sich die Koeffizientenmatrix nun in Stufenform befindet. Überführen wir die einzelnen Gleichungen nun wieder in ein normales LGS mit Variablen, so können wir dies von unten nach oben auflösen, wie bereits vorab erklärt:

-3·z = 18
z = -6

2·y + 3·z = -6 | z = -6
2·y + 3·(-6) = -6
2·y + (-18) = -6
2·y = 12
y = 6

Und nun die erste Zeile:

2·x + 1·y + 3·z = 1 | y = 6, z = -6
2·x + 1·6 + 3·(-6) = 1
2·x + 6 - 18 = 1
2·x - 12 = 1
2·x = 13
x = 13/2 = 6,5

Damit haben wir die Lösung des LGS bestimmt:

z = -6, y = 6, x = 13/2

Auch hier könnt ihr gerne die Probe machen, indem ihr die berechneten Werte für x, y, z in alle drei Gleichungen einsetzt.

Häufigkeit von Lösungen

Es muss nicht immer sein, dass ein LGS genau eine Lösung besitzt. Gleichungssysteme können auch unendlich viele oder gar keine Lösung besitzen. Führen wir das Gauß-Verfahren durch, erhalten wir entweder genau eine Lösung (wie in dem vorigen Beispiel), oder wir können anhand des Aussehens der Koeffizientenmatrix sagen, ob das LGS unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat. Das sehen wir, wenn wir uns die letzte Zeile der Matrix anschauen.

Keine Lösung:

Die letzte Zeile der Matrix besteht aus Koeffizienten, die alle 0 sind. Hinter dem senkrechtem Strich (Gleichheitszeichen) befindet sich jedoch ein Wert der ungleich null ist. Ausgeschrieben als Gleichung wäre das, wie wir uns erinnern, 0·x + 0·y + 0·z = 18, was offensichtlich für beliebige x, y oder z keine wahre Aussage zulässt und damit keine Lösung liefert:

koeffizientenmatrix keine Lösung

Unendlich viele Lösungen:

Alle Einträge der letzten Zeile der Matrix sind 0.

koeffizientenmatrix unendlich viele Lösungen

Wollen wir nun irgendeine Lösung des LGS, so wählen wir uns die letzte Variable einfach beliebig.

Wollen wir alle Lösungen des LGS, so bestimmen wir uns die vorletzte Variable in Abhängigkeit von der letzten Variable.

In diesem Fall:

2·y = -6 - 3·z

y = -3 - 1,5·z

Jetzt können wir z = z setzen (das heißt wir belassen die Variable und suchen die Lösung in Abhängigkeit von z) sowie y = (-3 - 1,5·z) in die erste Gleichung einsetzen und nach x umformen.

Eindeutige Lösung:

Wenn in der letzten Zeilen der Matrix der letzte Koeffizient ungleich 0 ist, dann haben wir eine eindeutige Lösung. Beispiel 0·x + 0·y + 3·z = 18, was offensichtlich zur eindeutigen Lösung z = 6 führt.

koeffizientenmatrix eindeutige Lösung

Zusammenfassung des Vorgehens

Kurz eine Zusammenfassung wie man ein LGS mit dem Gauß-Verfahren (mit Koeffizientenmatrix) löst:

1. LGS als Koeffizientenmatrix schreiben (falls gewünscht).

2. Eventuell Gleichungen bzw. Variablen vertauschen (zum Beispiel wenn die erste Variable in Gleichung I den Koeffizient 0 hat).

3. Das LGS auf Stufenform bringen. Hilfsmittel: Äquivalenzumformungen und Additionsverfahren.

4. Variablen von unten nach oben berechnen.

5. Lösungen notieren.

Rechner für LGS und Gauß-Verfahren

  Hinweis senden