Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme

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Lineare Gleichungssysteme können verschiedene Lösungen haben, im Folgenden eine kurze Übersicht.

Genau eine Lösung

Für x und für y erhalten wir jeweils einen konkreten Wert. Das Lineare Gleichungssystem hat ein eindeutiges Lösungspaar.

L = { (x|y) } Beispiel: L = { (15|25) }

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Keine Lösung

Das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Für x und y erhalten wir beim rechnerischen Lösen keinen konkreten Wert, sondern eine falsche Aussage wie zum Beispiel: 3 = 4

L = { } keine Lösung → leere Menge

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Unendlich viele Lösungen

Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ihr setzt also bei beiden Gleichungen einen beliebigen Wert für x ein und erhaltet dann stets bei beiden Gleichungen den selben Wert für y. Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen werdet ihr auf eine sogenannte Identität stoßen, zum Beispiel: 2 = 2

Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man dann: L = { (x|y) | Gleichung }

Beispiel: L = { (x|y) | y=x+10 }

Der Mathematiker würde sagen: Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die "die Gleichung y=x+10 erfüllen". Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y=x+10 einsetzen kann... na klar, das klappt mit allen Zahlen.

Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.

Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen/Schnittpunkten hatten wir schon in der Lektion Schnittpunkt von zwei Geraden behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens.

Hinweis:
LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt.

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