Lineare Gleichungssysteme (Einführung)

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Ein Lineares Gleichungssystem (abgekürzt „LGS“) besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Dabei enthält jede Gleichung dieselben Unbekannten.

Alle Unbekannten kommen nur in der ersten Potenz vor, daher die Bezeichnung lineares Gleichungssystem.

Ziel beim Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS, die aus 2 Gleichungen bestehen) ist, eine der beiden Unbekannten zu beseitigen.

Bei beispielsweise zwei linearen Gleichungen:

I. 2·x + 2·y = 3
II. 5·x + 3·y = 5

wollen wir wissen, welche Werte für x und y diese beiden Gleichungen zusammen erfüllen. Mit welchen Werten stimmen beide Gleichungen?

Für das Beispiel wären die Lösungen: x = 0,25 und y = 1,25. Nur bei diesen beiden Werten stimmen beide Gleichungen:

2·x + 2·y = 3   →   2·(0,25) + 2·(1,25) = 3   →   0,5 + 2,5 = 3   ✓
5·x + 3·y = 5   →   5·(0,25) + 3·(1,25) = 5   →   1,25 + 3,75) = 5   ✓

Bei beispielsweise drei linearen Gleichungen haben wir drei verschiedene Unbekannte:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5
II. 4·x + 5·y + 1·z = -1
III. 2·x - 5·y + 7·z = 9

Möchte man ein LGS auflösen, so sucht man Werte für x, y und z, sodass alle drei linearen Gleichungen (I, II und III) erfüllt sind. Dies kann man mit Hilfe eines Lösungsverfahrens wie dem Gleichsetzungsverfahren, dem Einsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren herausfinden. Wir betrachten zunächst nur das Additionsverfahren, da wir dieses für das Gauß-Verfahren benötigen.

Zum Berechnen der Werte der Variablen können wir verschiedene Verfahren benutzen:

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