De Morgansche Regeln
Wie schon angedeutet können logische Sachverhalte auch in verneinter Form ausgedrückt werden. Umgangssprachlich führen Negationen sehr häufig zu Missverständnissen. Hier sind die De Morganschen Regeln (Augustus De MORGAN, 1806-1871) sehr hilfreich bei der Auflösung solcher Konstrukte.
1. De Morgansche Regel
\( ¬(A ∧ B) ⇔ A | B ⇔ ¬A ∨ ¬B \) Gl. 2
| A | ¬A | B | ¬B | A ∧ B | ¬(A ∧ B) | ¬A ∨ ¬B |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Beispiel:
Aussage A: Es regnet.
Aussage B: Der Himmel ist bedeckt.
Die Aussage
„Es ist nicht wahr, dass es regnet und gleichzeitig der Himmel bedeckt ist“
ist äquivalent zu der Aussage
„Es regnet nicht oder der Himmel ist nicht bedeckt“!
2. De Morgansche Regel
\( ¬(A ∨ B) ⇔ A ↓ B ⇔ ¬A ∧ ¬B \) Gl. 3
| A | ¬A | B | ¬B | A ∨ B | ¬(A ∨ B) | ¬A ∧ ¬B |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Beispiel:
Aussage A: Es regnet.
Aussage B: Der Himmel ist bedeckt.
Die Aussage
„Es ist nicht wahr, dass es regnet oder der Himmel bedeckt ist“
ist äquivalent zu der Aussage
„Es regnet nicht und der Himmel ist nicht bedeckt“!
Die Regeln von De Morgan sind auch auf mehrfache Negationen anwendbar:
\( ¬¬(A ∧ B) ⇔ A ∧ B ⇔ ¬(¬A ∨ ¬B) \) Gl. 4
\( ¬¬(A ∨ B) ⇔ A ∨ B ⇔ ¬(¬A ∧ ¬B) \) Gl. 5