Dreisatz - Einführung

Wir sprechen vom „Dreisatz“, wenn wir einen unbekannten Wert aus 3 gegebenen Werten ermitteln. Die Lösung erfolgt in 3 Sätzen (bzw. Schritten).

In Österreich heißt der Dreisatz „Schlussrechnung“.

Aufgabe mit Dreisatz lösen:

1. Bedingungssatz (gegeben: 75 kg ≙ 50 Stück).
Verhältnis aufstellen, also eine „Relation“.

2. Fragesatz (gesucht: 102 kg ≙ x Stück).
Unbekannten Wert ins Verhältnis setzen.

3. Schlusssatz (gelöst: x = 50 Stück : 75 kg · 102 kg = 68 Stück)
Gesamte Gleichung aufstellen und lösen.

Dreisatz: 1 Einheit berechnen

Es gibt noch eine alternative Beschreibung des Dreisatzes, bei der wir auf 1 Einheit herunterrechnen:

1. Verhältnis aufstellen (eine „Relation“).
2. Herunterrechnen auf eine Einheit.
3. Heraufrechnen auf die gesuchte Größe.

Der Dreisatz funktioniert, da sich die Werte proportional („je Anteil“, gleichmäßig) verhalten.

Beispiel: Geld für Klassenfahrt

Im Folgenden eine Beispielaufgabe:

„Für eine Klassenfahrt zahlen 20 Schüler insgesamt 360 Euro. Wie viel Euro müssten 25 Schüler bezahlen?“

Wie gehen wir an so eine Aufgabe heran? Wir wissen, dass der Preis und die Anzahl der Schüler proportional zueinander sind. Für jeden Schüler wird also ein fester Betrag bezahlt.

Wir berechnen also zunächst einmal den Preis für einen Schüler. Das machen wir, indem wir den Preis für 20 Schüler durch 20 teilen:

= 360 € : 20 Schüler
= 18 €/1 Schüler
= 18 €/Schüler

Ein Schüler bezahlt also 18 €.

Jetzt können wir auch ganz einfach den Preis für 25 Schüler berechnen:

25 Schüler · 18 €/Schüler = 450 €

25 Schüler müssten also 450 Euro bezahlen.

Dieses Vorgehen nennt man Dreisatz. Es heißt Dreisatz, weil wir drei Schritte machen:

1. Wir haben zunächst einmal ein Verhältnis aufgestellt. (20 Schüler zahlen 360 Euro)

2. Wir haben das Verhältnis für 1 Einheit berechnet. (Preis für einen Schüler)

3. Wir haben den Wert für die gesuchte Anzahl berechnet. (Preis für 25 Schüler)

Wir können uns den zweiten Schritt auch sparen, indem wir unser Problem als Bruch schreiben und direkt den Faktor z bestimmen, mit dem wir von 20 auf 25 Schüler gelangen. Genau so, wie wir es bei dem Proportionalitätsfaktor auch gezeigt haben:

20 Schüler360 € = 25 Schülerx

x ist unser gesuchter Preis.

Wir wissen nun:

z · 20 Schülerz · 360 € = 25 Schülerx

Wir bestimmen unser z mit einer Nebenrechnung:

Nebenrechnung: 20 · z = 25, damit ist z = 2025 = 1,25

Wir kommen also von 20 auf 25, indem wir 20 mit 1,25 multiplizieren. Nun müssen wir genauso unsere 360 € mit diesem Faktor 1,25 multiplizieren und erhalten:

360 € · z = x   | z = 1,25
360 € · 1,25 = x
x = 450 €

Alternativer Lösungsweg

Mit dem Umformen der Gleichung können wir auch die Lösung ermitteln. Da wir wissen, dass es einen Proportionalitätsfaktor gibt, können wir den Preis pro Schüler bei 20 und bei 25 Schülern gleichsetzen:

$$ \frac{20}{360} = \frac{25}{x} $$

Beide Seiten stellen den Preis pro Schüler dar, wobei x unser gesuchter Preis ist. Wir formen dies um, indem wir auf beiden Seiten den Kehrwert bilden:

$$ \frac{360}{20} = \frac{x}{25} $$

Wir multiplizieren beide Seiten mit 25 und erhalten:

$$ \frac{360}{20} · 25 = x $$

x = 450

Haben wir zwei Größen a und b gegeben, die proportional zueinander sind, so schreiben wir: a ~ b

Beispiel: Wasserverbrauch

12 Menschen trinken pro Tag 22,8 Liter Wasser. Wie viel trinken 34 Menschen?

1. Verhältnis:
12 Menschen ≙ 22,8 Liter

2. Verhältnis für unbekannten Wert:
34 Menschen ≙ x Liter

3. Gesamte Gleichung:
12 Menschen : 22,8 Liter = 34 Menschen : x Liter
oder mittels Kehrwert: 22,8 Liter : 12 Menschen = x Liter : 34 Menschen

Jetzt noch die Gleichung lösen, wir erhalten: x = 64,6 Liter

Der Proportionalitätsfaktor ist übrigens:

22,8 Liter : 12 Menschen
= 1,9 Liter/Mensch

64,6 Liter : 34 Menschen
= 1,9 Liter/Mensch

Zweisatz

Man spricht übrigens von Zweisatz, wenn nur zwei Größen gegeben sind. Also 1 Stück kostet 3 Euro. Wie viel kosten 10 Stück? Dann müssen wir einfach 3 Euro x 10 Stück rechnen. Beim Dreisatz hat man den Preis für 1 Stück jedoch nicht gegeben.