Kann man auf den Dreisatz verzichten?

Autor: Roland Schröder

Sicher wird es eine Mathematikstunde geben, in der das Wort „proportional“ zum ersten Mal verwendet wird. Meistens geschieht das im Zusammenhang mit dem Dreisatz. Tatsächlich aber ist der Inhalt des Begriffes „proportional“ schon im Rahmen der Bruchrechnung von Schülerinnen und Schülern erahnt worden. Beim Kürzen und Erweitern von Brüchen entstanden nämlich quotientengleiche Zahlenpaare aus Zähler und Nenner, die direkt proportional sind. Schon im Rahmen der Bruchrechnung gab es Aufgaben, in denen ein gegebener Bruch auf einen vorgegebenen Nenner erweitert oder gekürzt werden sollte.

Nur sehr selten war dabei der Faktor für das Erweitern oder der Divisor für das Kürzen eine Bruchzahl, wie etwa in der folgenden Aufgabe: Bestimme x in der Gleichung \( \frac{6}{5} = \frac{x}{7} \). Hier muss mit \( \frac{7}{5} \) erweitert werden, denn \( 5·\frac{7}{5} = 7 \).

Da \( 6·\frac{7}{5} = \frac{42}{5} = \frac{84}{10} = 8,4 \) ist, wissen wir x = 8,4.

Die Zahlenpaare (6; 5) und (8,4; 7) sind direkt proportional und es gilt \( \frac{6}{5} = \frac{8,4}{7} \).

Die sogenannte Dreisatzaufgabe: „5 kg Äpfel kosten 6 €. Was kosten 7 kg Äpfel?“ fragt nach x in den direkt proportionalen Zahlenpaaren (6; 5) und (x; 7). In der Darstellung der Bruchrechnung ist also die schon bekannte Aufgabe: „Bestimme x in der Gleichung \( \frac{6}{5} = \frac{x}{7} \)“ zu lösen. Aus dieser Sicht der Zusammenhänge ist die Lösungsmethode des Dreisatzes entbehrlich. Ein Rückgriff auf das Kürzen und Erweitern von Brüchen hätte es auch getan.

Der Begriff „proportional“ tritt im Mathematikunterricht immer wieder auf. Zusammenhänge, in denen der Begriff „direkte Proportionalität“ auftaucht, sind (außer Bruchrechnung und Dreisatz):

  • Ursprungsgeraden unter den linearen Funktionen
  • Strahlensätze und Ähnlichkeitssätze, zentrische Streckung
  • Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken sin, cos, etc.
  • Steigung, Steigungsdreieck, Differenzenquotient
  • Proportionalitätsfaktor und Proportionalitätstilde

Eine erste Berührung mit dem Begriff der indirekten Proportionalität erleben Schülerinnen und Schüler bereits im Rahmen der Aufgabenstellung: „Welche Multiplikation hat das Resultat 12?“ Diese Frage stellt sich etwa im Rahmen von Primfaktorenzerlegungen. Im Rahmen von sogenannten Dreisatzaufgaben tauchen etwa feste Vorräte für variable Zeiträume oder Konsumenten auf.

Eine Dreisatzaufgabe aus diesem Zusammenhang ist diese: „Ein Bauer hat für seine 16 Rinder noch Futtervorräte für 105 Tage, als er zwei Rinder verkauft. Wie lange recht der Vorrat jetzt?“ Zunächst muss der Vorrat in Tagesportionen pro Rind angegeben werden. Das sind 16·105 Tagesportionen pro Rind. Da er nach dem Verkauf noch 14 Rinder hat, erhält man die Antwort auf die gestellte Frage durch die Rechnung \( 16·\frac{105}{14} \). An dieser Stelle ist es nun günstig, die oben erwähnten Operationen wie Faktorenzerlegung und Kürzen zu beherrschen. Dann erhält man 8·15 = 120 Tage.

Zusammenhänge, in denen der Begriff „indirekte Proportionalität“ im weiteren Schulleben auftaucht, sind darüber hinaus:

  • Rechtecke gleichen Inhalts
  • Reziproke Funktionen und deren Graphen (Hyperbeln)
  • Proportionalität zwischen Messgröße und Kehrwerten anderer Messgrößen.

Den Dreisatz kann man also entbehren, wenn man im Falle direkter Proportionalität das Erweitern auch mit Bruchzahlen (als Erweiterungsfaktoren) beherrscht und im Falle indirekter Proportionalität eine Zahl (Produkt zweier Faktoren) in zwei andere Faktoren zerlegen kann, von denen einer schon bekannt ist.

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