Einschließungsverfahren

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Das Einschließungsverfahren ist eine geeignete Methode zur Grenzwertberechnung. Der Name rührt daher, dass die Funktion, die eine Lücke aufweist, durch andere Funktionen ohne eine solche Lücke eingeschlossen wird. Dann wird die Lücke dadurch geschlossen, dass der Funktionswert der einschließenden Funktion(en) als Grenzwert der unbekannten Funktion genommen wird.

Das Verfahren wird an der schon bekannten Spaltfunktion demonstriert. Der Funktionswert von \(y = \frac{ {\sin (x)} }{x}\) ist für x → 0 nicht definiert. Zur Grenzwertbestimmung wird eine Abschätzung der Flächen, die durch die Gerade, die im Winkel x vom Koordinatenursprung ausgeht, die Abszisse und die jeweilige Begrenzung am rechten Rand aufgespannt werden, vorgenommen. Es gilt die Ungleichung:

\(\frac{ {\sin (x)\cos (x)} }{2} \le \frac{x}{2} \le \frac{1}{2} \cdot \tan (x)\) Gl. 16

Beachte, dass die Flächen durch den Einheitskreis (r = 1) begrenzt werden. Ferner wird der Winkel x im Bogenmaß angegeben, was zur Folge hat, dass die Fläche eines Kreissegmentes mit dem Winkel x gleich \( 1^2 · \frac{x}{2} = \frac{x}{2} \) ist (Fläche des Vollkreises ist π·r², der Bogen des Vollkreises aber 2·π·r).

Sinus und Kosinus am Einheitskreis, 1. Quadrant

Umformen:

\(\sin (x)\cos (x) \le x \le \frac{ {\sin (x)} }{ {\cos (x)} }\) Gl. 17

Division durch sin(x):

\(\cos (x) \le \frac{x}{ {\sin (x)} } \le \frac{1}{ {\cos (x)} }\) Gl. 18

Kehrwertbildung (beachte, dass durch die Kehrwertbildung eine Umkehrung der größer-Relation eintritt!)

\( \frac{1}{ {\cos (x)} } \ge \frac{ {\sin (x)} }{x} \ge \cos (x) \) Gl. 19

Für x → 0 wird die gesuchte Funktion von einer oberen und einer unteren Funktion eingeschränkt, die beide nach 1 tendieren. Folglich tendiert auch die gesuchte Funktion nach 1. Also

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ {\sin (x)} }{x} = 1 \) Gl. 20

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