Grenzwerte: Verwendung von Näherungen

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Neben der Substitutionsmethode gibt es für die Gewinnung von Grenzwerten noch andere Verfahren. Eine weitere Methode ist die Verwendung von Näherungen für die betrachtete Funktion.

Beispiel:

Eine in der Physik wichtige Funktion ist die Spaltfunktion \(y = \frac{ {\sin (x)} }{x}\)

Spaltfunktion

Diese Funktion ist für x → 0 nicht bestimmt, da \( \frac{0}{0} \). Mit der Näherung für \( \sin x \approx x - \frac{ { {x^3} } }{ {3!} } + \frac{ { {x^5} } }{ {5!} } - ... \) ist der gesuchte Grenzwert sehr leicht zu bestimmen:

\( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ {\sin x} }{x} = \mathop {\lim}\limits_{x \to 0} \frac{ {x - \frac{ { {x^3} } }{ {3!} } + - ...} }{x} = 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ { {x^2} } }{ {3!} } + - ... = 1 - 0 = 1 \)

  Hinweis senden