Grenzwertbestimmung durch geeignete Substitution

Lesedauer: 2 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Auch die Funktion \( y = \frac{2}{ {1 + {2^{\frac{1}{x} } } } } \) ist für x → 0 nicht bestimmt, da \( \frac{1}{x} → ∞ \).

Mit der Substitution für \(u = \frac{1}{x}\) wird \( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{ {1 + {2^{\frac{1}{x} } } } } = \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + {2^u} } } \)

Abbildung 10 Funktion mit Sprung
Abbildung 10: Funktion mit Sprung

Hier liegt allerdings eine Unstetigkeit anderer Art vor (siehe Abbildung 10). Diese Funktion hat an der Stelle x=0 einen Sprung, daher sind zwei Fälle zu beachten:

a) u → +∞ (rechtsseitiger Grenzwert, d.h. x nähert sich von rechts der 0: x → +0)

\( \mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + {2^u} } } = \frac{2}{\infty } = 0 \)

b) u → -∞ (linksseitiger Grenzwert, d.h. x nähert sich von links der 0: x → -0)

\( \mathop {\lim }\limits_{u \to - \infty } \frac{2}{ {1 + {2^u} } } = \mathop{\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + {2^{ - u} } } } = \mathop {\lim}\limits_{u \to \infty } \frac{2}{ {1 + \frac{1}{ { {2^u} } } } } = \frac{2}{ {1 + 0} } = 2 \)

Unterscheiden sich links- und rechtsseitiger Grenzwert, kann mit der Berechnung der Grenzwerte die Unstetigkeit der Funktion nicht behoben werden, es liegt eine nichthebbare Unstetigkeit vor.

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