Grenzwerte (Definition)

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Uneigentliche Grenzwerte

Ist eine Funktion x → y mit y = f(x) vorgegeben, so hat f(x = g) den Grenzwert G, wenn \( |f(x)-G|<ε \text{ für } |x-g|<δ \). Wobei ε und δ beliebig kleine Zahlen (Schranken) sind.

Als Schreibweise für den Grenzwert hat sich

\( \lim \limits_{x \to g} f(x) = G \) Gl. 11

etabliert.

Im Allgemeinen stimmen nach obiger Definition Grenzwert und Funktionswert überein. In der Anwendung gibt es aber durchaus unterschiedliche Betrachtungsweisen:

a) Es gibt Fälle, bei denen die Funktion an der Stelle x = g nicht definiert ist. Diese Funktionen weisen an diesen Stellen eine Lücke auf. Durch Annäherung der unabhängigen Variablen an diese Unstetigkeitsstelle gelingt es, Ersatzwerte für diese Funktion an den Unstetigkeitsstellen zu finden. Solche Grenzwerte werden uneigentliche Grenzwerte genannt. Die Unstetigkeit ist hebbar, wenn es gelingt, mit Hilfe der Grenzwertberechnung einen Ersatzwert der Funktion für diese Lücke anzugeben, der dann zu einer stetigen Funktion führt.

b) Infinitesimalrechnung, wo Grenzwerte das Fundament der ganzen Theorie bilden. Vom Wesen sind diese Grenzwerte aber uneigentliche Grenzwerte.

Eigentliche Grenzwerte

Bestimmung des Verhaltens von Summen unendlicher Reihen. Ein solcher Grenzwert heißt eigentlicher Grenzwert.

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