Reihen

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Reihen unterscheiden sich von Folgen dadurch, dass die einzelnen Glieder der Reihe summiert werden. Folglich kann jede Folge in eine Reihe überführt werden.

Wenn die Konvergenz schon bei Folgen eine wichtige Rolle gespielt hat, ist das bei Reihen umso mehr der Fall. Denn durch die Summation der Glieder wächst diese in oft unvorgesehener Weise. Solange es sich um endliche Reihen handelt, wird auch deren Summe endlich sein, solange die Glieder selber endlich sind.

Anders sieht das bei unendlichen Reihen aus. Hier genügt die Feststellung der Endlichkeit der Glieder nicht, um die Konvergenzeigenschaften der Reihe beurteilen zu können.

Wenn an die Glieder einer Folge {an} sind, wird die Reihe sn durch Summation der Glieder gewonnen:

\( {s_N} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + ....\, = \sum\limits_{n = 1}^N { {a_n} } \) Gl. 172

Handelt es sich um eine unendliche Reihe so geht Gl. 172 über in

\( S = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {s_N}\, = \sum\limits_{n = 1}^\infty { {a_n} } \) Gl. 173

Gl. 172 stellt gleichzeitig eine Anweisung zur Bildung einer neuen Folge dar, die aus den Partialsummen dieser Reihe gebildet wird:

\({s_1} = {a_1}\)

\({s_2} = {a_1} + {a_2}\)

\({s_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3}\)

\({s_4} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\) usw.

Somit kann die Untersuchung auf Konvergenz der Reihe auf eine Konvergenzuntersuchung der Folge von Partialsummen zurückgeführt werden (siehe Grenzwert von Zahlenfolgen).

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