Konvergenzradius
Wie schon bei der Konvergenzbetrachtung der geometrischen Reihe festgestellt (vergleiche 3.2.2.1), ist die Konvergenz nicht nur vom funktionellen Aufbau der Reihenglieder abhängig, sondern auch vom numerischen Wert der Variablen. Der Wertebereich der Variablen, für den die Reihe noch konvergiert, wird Konvergenzradius genannt. Der Konvergenzradius r der geometrischen Reihe wäre also r<1, da die Reihe nur für |q|<1 konvergiert.
Der Konvergenzradius kann nach verschiedenen Methoden abgeschätzt werden. Bei einer Potenzreihe nach Gl. 183 kann sowohl das Quotientenkriterium (Gl. 180), als auch das Wurzelkriterium (Gl. 181) herangezogen werden:
\( r = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n + 1} } } } } \right| \) Gl. 194
\( r = \frac{1}{ {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {\left| { {a_n} } \right|} } } } \) Gl. 195
Beispiel 1:
Das allgemeine Glied der Reihe für den natürlichen Logarithmus lautet \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{n}\).
Die Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt einen Konvergenzradius von
\( r = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n + 1} } } } } \right| = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\frac{1}{n} } }{ {\frac{1}{ {n + 1} } } } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {n + 1} }{n} } \right| = 1 \)
Beispiel 2:
Das allgemeine Glied der Exponentialreihe lautet \({a_n} = \frac{1}{ {n!} }\).
Die Anwendung des Quotientenkriteriums ergibt einen Konvergenzradius von
\( r = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_n} } }{ { {a_{n + 1} } } } } \right| = \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\left( {n + 1} \right)!} }{ {n!} } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\left( {n + 1} \right) \cdot n!} }{ {n!} } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left| {\left( {n + 1} \right)} \right| = \infty \)