GIBBSsches Phänomen

Lesedauer: 5 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Als GIBBSsches Phänomen oder „Ringing“ bezeichnet man in der Mathematik das typische Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Wird eine Fourierreihe aus einer Funktion mit Unstetigkeiten entwickelt, ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich aber mit steigendem Anteil hochfrequenter Schwingungen verringern. Erst bei einer unendlichen Reihe verschwinden die Überschwinger. Dies liegt daran, dass die Reihe an der Unstetigkeitsstelle nicht mehr gleichmäßig, sondern nur punktweise konvergiert. Der Effekt wurde nach seinem Entdecker, dem amerikanischen Physiker GIBBS, Josiah Willard, benannt.

Zeitfunktion und Spektrum

Das Ergebnis des Beispiels aus Abschnitt „Analyse periodischer Funktionen“ ist eine Folge von Cosinus-Schwingungen, deren Amplituden über der Nummer der Oberwelle aufgetragen, ein Bild entsprechend Abbildung 28 ergibt.

Abbildung 28 Folge von Cosinus-Schwingungen (Amplituden, Oberwellen)
Abbildung 28: Folge von Cosinus-Schwingungen (Amplituden, Oberwellen)

Eine solche Abbildung wird auch Spektrum genannt. Sie macht grafisch deutlich, aus welchen Oberwellen mit welcher Intensität die analysierte Schwingung zusammengesetzt ist.

Die Spektren stationärer periodischer Schwingungen haben immer nur zu den ganzzahligen Vielfachen der Grundwelle Schwingungsanteile. Zwischen diesen Frequenzen befinden sich Lücken. In der Darstellung von Abbildung 28 rechts wird dies durch die Linien, die genau an den Frequenzpositionen der Oberwellen auftreten, deutlich. Deshalb wird das Spektrum stationärer periodischer Schwingungen auch Linienspektrum oder diskretes Spektrum genannt.

Interessant ist nun, dass die FOURIER-Analyse mittels der Gleichungen Gl. 221 bis Gl. 223 in angepasster Form

\( {a_0} = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {f\left( t \right)dt} \) Gl. 224

\( {a_n} = \frac{2}{T}\int\limits_0^T {f\left( t \right) \cdot \cos \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)dt} \) Gl. 225

\( {b_n} = \frac{2}{T}\int\limits_0^T {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)dt} \) Gl. 226

das Spektrum einer stationären periodischen Zeitfunktion berechnet. Umgekehrt kann aber bei Vorliegen der Amplitudenwerte der Oberwellen (d.h. dem Spektrum) durch die FOURIER-Synthese nach Gl. 219 in angepasster Form

\( f(t) = {a_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { {a_n}\cos \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right) + {b_n}\sin \left( {n \cdot \omega \cdot t} \right)} \right)} \) Gl. 227

die zugehörige Zeitfunktion rekonstruiert werden. Folglich gilt:

Zeitfunktion und Spektrum stationärer periodischer Schwingungen sind identische Darstellungen eines Phänomens.

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