Konvergenzkriterien für Reihen

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Ohne Nachweis seien hier notwendige, aber teilweise nicht hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer Reihe genannt:

a) Quotientenkriterium nach D’Alembert, notwendig aber nicht hinreichend

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_{n + 1} } } }{ { {a_n} } } } \right| < 1 \) Gl. 180

Beispiel:

Obwohl für die harmonische Reihe \(\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ { {a_{n + 1} } } }{ { {a_n} } } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{ {\frac{1}{ {n + 1} } } }{ {\frac{1}{n} } } } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n}{ {n + 1} } } \right| < 1\) gilt, divergiert die Reihe.

b) Wurzelkriterium nach CAUCHY, notwendig aber nicht hinreichend

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {\left| { {a_n} } \right|} } < 1 \) Gl. 181

Beispiel:

Die geometrische Reihe konvergiert, wenn q<1. Dies wird durch das CAUCHYsche Kriterium bestätigt. \( \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{ {\left| { {q^n} } \right|} } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } q < 1 \)

c) Alternierende Reihen, Satz von LEIBNIZ

Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge ihrer Glieder monoton gegen Null streben. Dieser Satz ist notwendig und hinreichend.

\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| { {a_n} } \right| < 1 \) Gl. 182

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