Harmonische Reihe

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Die Harmonische Reihe wird aus den Gliedern der Nullfolge \(\frac{1}{n}\) gebildet. Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert? Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Abschätzung vorgenommen, indem die Glieder der Reihe

\( {s_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{ {10} } + \frac{1}{ {11} } + \) Gl. 174

Geeignet zusammengefasst werden:

\( {s_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left[ {\frac{1}{3} + \frac{1}{4} } \right] + \left[ {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} } \right] + \left[ {\frac{1}{9} + \frac{1}{ {10} } + \frac{1}{ {11} } + } \right. \) Gl. 175

Nun wir eine neue Reihe s’N gebildet, die unbedingt eine kleinere Summe aufweist als die Reihe sN:

\( s{'_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} } \right] + \left[ {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} } \right] + \left[ {\frac{1}{ {16} } + \frac{1}{ {16} } + \frac{1}{ {16} } + } \right. \) Gl. 176

\( s{'_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + ..... \) Gl. 177

Folge Grenzwert unendlich

Es ist offensichtlich, dass diese (kleinere) Folge beiN → ∞ keinen endlichen Grenzwert aufweist, also divergiert. Wenn dem aber so ist, dann divergiert die eigentliche Reihe, die harmonische Reihe, auch!

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