Berechnung wichtiger Konstanten

Lesedauer: 2 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

In den Naturwissenschaften wichtige Konstanten wie e oder π werden ebenfalls durch Reihenentwicklung numerisch bestimmt.

Nach Gl. 200 kann die EULERsche Zahl e durch das Berechnen der Reihe für x=1 ermittelt werden:

\( e = {e^1} = 1 + \frac{1}{ {1!} } + \,\frac{1}{ {2!} } + \frac{1}{ {3!} }.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{ {n!} } } \) Gl. 206

Diese Reihe konvergiert sehr schnell und führt schon nach einigen Gliedern zu brauchbaren Resultaten.

Die Berechnung von π ist nicht so trivial. Grundlage hierfür ist die Reihe für den arctan, denn für arctan(1) ist der zugehörige Winkel gleich π/4.

\( \frac{\pi }{4} = \arctan (1) = 1 - \frac{1}{3} + \,\frac{1}{5} - \frac{1}{7}.... + \frac{ { { {\left( { - 1} \right)}^n} } }{ {(2n + 1)} } \) Gl. 207

Diese Reihe konvergiert nun recht langsam, weshalb sie für den praktischen Gebrauch wenig geeignet ist. Deshalb werden als Argument andere Werte verwendet, bei denen die Konvergenz rascher verläuft.