Geometrische Reihe

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Die Geometrische Reihe wird aus den Gliedern der Nullfolge \({q^n} = \frac{1}{ { {p^n} } }\) gebildet. Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert? Die Summe der geometrischen Reihe ist bekannt

\( {s_N} = {q^0} + {q^1} + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ..... = \frac{ { {q^n} - 1} }{ {q - 1} } \) Gl. 178

Für p>1 ist q<1, daher

\( S = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {s_N}\, = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{ {1 - {q^N} } }{ {1 - q} } = \frac{1}{ {1 - q} } \text{ wegen } \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } {q^N} = 0 \) Gl. 179

also endlich. D.h. für Werte von q<1 (d.h. p>1) konvergiert die geometrische Reihe. Für Werte von q gleich oder größer 1 divergiert die geometrische Reihe.