Geometrische Reihe
Die Geometrische Reihe wird aus den Gliedern der Nullfolge \({q^n} = \frac{1}{ { {p^n} } }\) gebildet. Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert? Die Summe der geometrischen Reihe ist bekannt:
\( {s_n} = {q^0} + {q^1} + {q^2} + {q^3} + {q^4} + ..... = \frac{ q^{n+1} - 1 }{ {q - 1} } \) Gl. 178
Für \( p \gt 1 \) ist \( q \lt 1 \), daher
\( S = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n}\, = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{ {1 - {q^n} } }{ {1 - q} } = \frac{1}{ {1 - q} } \text{ wegen } \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0 \) Gl. 179
also endlich. Das heißt, für Werte von \( q \lt 1 \) (d. h. \( p \gt 1 \)) konvergiert die geometrische Reihe. Für Werte von \( q \) gleich oder größer \( 1 \) divergiert die geometrische Reihe.