Eulersche Gleichung
Bei der Betrachtung der Reihen für die Funktionen ex, sin(x) und cos(x) fallen gewisse Parallelitäten auf:
\( \sin (x) = 1 \cdot x - \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + \,\frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n + 1)!} } \cdot {x^{2n + 1} } } ; \) R < ∞ Gl. 210
\( \cos (x) = 1 - \frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \,\frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( { - 1} \right)}^n}\frac{1}{ {(2n)!} } \cdot {x^{2n} } } ; \) R < ∞ Gl. 211
\( {e^x} = 1 + \frac{1}{ {1!} } \cdot x + \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^n} } ; \) R < ∞ Gl. 212
Wird jetzt in Gl. 212 das reelle Argument x durch das imaginäre Argument i×x ersetzt, ergibt sich:
\( {e^{ix} } = 1 + i \cdot \frac{1}{ {1!} } \cdot x + {\left( i \right)^2}\,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + {\left( i \right)^3}\frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3}.... = \sum\limits_{n = 0}^\infty { { {\left( i \right)}^n}\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^n} } ; \)
Potenzierung der imaginären Faktoren:
\( {e^{ix} } = 1 + i \cdot \frac{1}{ {1!} } \cdot x - \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} - i \cdot \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + \frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} + i \cdot \frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5} - \,\frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}.... \)
und Real- und Imaginärteil trennen
\( {e^{ix} } = 1 - \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \,\frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}... + i \cdot \frac{1}{ {1!} } \cdot x - i \cdot \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + i \cdot \frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5}... \)
\( {e^{ix} } = 1 - \,\frac{1}{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{1}{ {4!} } \cdot {x^4} - \,\frac{1}{ {6!} } \cdot {x^6}... + i \cdot \left( {\frac{1}{ {1!} } \cdot x - \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^3} + \frac{1}{ {5!} } \cdot {x^5}...} \right) \)
ein Vergleich mit Gl. 210 und Gl. 211 ergibt, dass
\( {e^{i \cdot x} } = \cos x + i \cdot \sin x \) Gl. 213
die bekannte Euler’sche Gleichung darstellt. Sie stellt eine Beziehung zwischen der Exponentialfunktion ex und den trigonometrischen Funktionen cos(x) und sin(x) her.