Grenzwerte von gebrochenrationalen Funktionen

Lesezeit: 2 min

Hilfreiche bei der Berechnung von Grenzwerten mit gebrochenrationalen Funktionen ist Folgendes:

f(x) = ^P(x)/_Q(x)

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion mit einem Polynom P(x) im Zähler und einem Polynom Q(x) im Nenner. Nun bestimmen wir den „Zählergrad n“ und den „Nennergrad m“, indem wir jeweils den Exponenten der höchsten Potenzen anschauen.

Haben wir bspw. P(x) = x² + 3 + 7·x⁵ - 2·x, so wäre der Zählergrad zu n = 5 zu bestimmen, da es sich hier um den Exponenten der höchsten Potenz handelt. Damit kann man nun folgende Regeln anwenden:

Grad des Zählers n < Grad des Nenners m

Die x-Achse (y = 0) ist waagerechte Asymptote.

Beispiel: f(x) = (x²+1)/(x³-2)

~plot~ (x^2+1)/(x^3-2);0;hide ~plot~

Grad des Zählers n = Grad des Nenners m

Eine Parallele zur x-Achse ist Asymptote - es wird der Quotient der Vorfaktoren der höchsten Potenzen gebildet.

Beispiel: f(x) = (x³+1)/(x³-3)

~plot~ (x^3+1)/(x^3-3);1;hide ~plot~

Grad des Zählers n > Grad des Nenners m

Keine waagerechte Asymptote (n = m + 1, die Asymptote ist eine schiefe Gerade).

Beispiel: f(x) = (x⁴+x²)/(x³+1)

~plot~ (x^4+x^2)/(x^3);x;hide ~plot~