Grenzwerte rechnerisch bestimmen

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Nachdem wir uns den Graphen in der Einführung zum Grenzwert angeschaut haben und erkannt hatten, dass sich der Grenzwert bestimmen lässt, in dem man schaut, wogegen der Graph „strebt“ (also sich annähert), wollen wir den Grenzwert nun auch rechnerisch bestimmen und mathematisch aufschreiben.

Wie erwähnt, ist die Schreibweise für den Grenzwert: \(\lim\). Für obige Funktion wäre das:

$$\lim_{\color{red}{x \to \infty}} \color{blue}{\frac{x-2}{x+1}} = 1$$

Gesprochen wird das wie folgt: “Limes von f(x) für x gegen ∞ gleich 1“. Wie ihr seht, haben wir unter dem „lim“ weitere Informationen zu stehen. Dort befindet sich das x, die „Laufvariable“, also die Variable, die wir gegen etwas streben lassen. Den Pfeil, der das „Streben“ ausdrückt und mit „gegen“ übersetzt wird, sowie den eigentlichen Wert, gegen den wir streben. Das kann eine reelle Zahl sein oder eben das Unendliche, das ausdrücken soll, dass x gegen „sehr große Werte“ strebt. Nach dem eigentlichen Limes folgt die Funktion, um die es uns geht und letztlich haben wir den Grenzwert auf der rechten Seite. Allgemein aufgeschrieben also:

$$\lim_{\color{red}{x \to p}} \color{blue}{f(x)} = L$$

Wollen wir Grenzwerte nun rechnerisch bestimmen, sollten wir uns zuvor erst klar machen, was dieses \(x \to \infty\) bedeutet. Nehmen wir uns dazu die Funktion \(f(x) = \frac1x\) zur Hilfe. Ein Schaubild:

Funktion 1/1

Wir sehen, dass für sehr große x-Werte, der y-Wert gegen 0 geht. Nehmen wir einmal eine Wertetabelle zur Hilfe und setzen für x sehr große Werte ein:

x 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000
y 1 0,01 0,0001 0,000001 0,00000001

Die Werte werden offensichtlich sehr, sehr klein. Sie streben gegen 0. Dieses Verhalten von \(f(x) = \frac1x\) sollte man sich zu eigen machen und als eine Grundlage ansehen. Mit Hilfe von \( \frac{1}{x} \) lassen sich viele weitere Grenzwerte bestimmen. Wir merken uns:

$$ \color{blue}{ \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0} $$

Schauen wir uns einmal an, wie wir mit diesem Wissen unsere Eingangsfunktion rechnerisch bestimmen können:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x-2}{x+1} = ? $$

Um hier auf den Grenzwert zu kommen, müssen wir den Bruchterm kürzen. Dabei wird vorerst je im Zähler und Nenner die höchste Potenz ausgeklammert, was hier jeweils x entspricht. Dieses x kann dann weggekürzt werden:

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x-2}{x+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{x\cdot\left(1-\frac2x\right)}{x\cdot\left(1+\frac1x\right)} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac2x}{1+\frac1x} $$

Nun ist es erlaubt, den Limes von Zähler und Nenner getrennt zu betrachten (wir schreiben diese Regel später nochmals separat nieder) und erkennen, dass die beiden Brüche \( \frac{2}{x} \) und \( \frac{1}{x} \) jeweils gegen 0 gehen, ganz nach unserem Musterbeispiel mit 1/x oben. Für den Bruchterm haben wir somit:

$$ \frac {1-0}{1+0} = \frac11 = 1 $$

$$ \lim_{x\to \infty} \frac{x-2}{x+1} = 1 $$

Der Grenzwert ist mit 1 bestimmt. Wenn wir den Graphen zeichnen, können wir dies ebenso erkennen: gesehen hatten.

~plot~ (x-2)/(x+1);1;[[10]] ~plot~

Hinweis: Es ist absolut notwendig, den Limes mit „lim“ bei den Berechnungen immer mitzuschreiben, solange er nicht angewendet ist. Das einzige Zugeständnis ist das zeitweise Weglassen des „x → ∞“.

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