Herleitung der Zinseszinsformel

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Betrachten wir ein weiteres mal die Gleichungen für das Kapital von vorhin:
K1 = K0 + K0 · p
K2 = K1 + K1 · p
K3 = K2 + K2 · p
K4 = K3 + K3 · p
...

Uns fällt auf, dass wir in jeder Gleichung ausklammern können, und zwar wie folgt:
K1 = K0 · (1 + p)
K2 = K1 · (1 + p)
K3 = K2 · (1 + p)
K4 = K3 · (1 + p)
...

Dieses Wissen hilft uns bei der Herleitung. Auch hier nehmen wir das Beispiel vom Anfang zur Hilfe:
Startkapital 100 € und Zinssatz 10 %
K0 = 100 €
K1 = K0 · 110 % = 110 €
K2 = K1 · 110 % = 121 €
K3 = K2 · 110 % = 133,10 €

Setzen wir jetzt K1 in die Gleichung für K2 ein, dann haben wir:
K2 = K1 · 110 %    | K1 = K0 · 110 %
K2 = (K0 · 110 %) · 110 %    | Klammern entfernen
K2 = K0 · 110 % · 110 %

Wir müssen das Startkapital also zwei Mal verzinsen, damit wir K2 erhalten.

Setzen wir jetzt die Gleichung für K2 in die Gleichung von K3 ein:
K3 = K2 · 110 %    | K2 = K0 · 110 % · 110 %
K3 = (K0 · 110 % · 110 %) · 110 %    | Klammern entfernen
K3 = K0 · 110 % · 110 % · 110 %

Wir müssen das Startkapital also dreimal verzinsen, damit wir K3 erhalten.

Schreiben wir diese Gleichungen mit Hilfe von Potenzen auf:
K1 = K0 · 110 % = K0 · (110 %)1
K2 = K0 · 110 % · 110 % = K0 · (110 %)2
K3 = K0 · 110 % · 110 % · 110 % = K0 · (110 %)3
...

Da wir immer wieder 110 % mit dem Startkapital multiplizieren, lässt sich dies auch für eine beliebige Anzahl an Jahren darstellen. Es fällt dabei auf, dass der Exponent genau der Anzahl an Jahren entspricht. Wir erhalten einen Teil unserer Zinseszinsformel:

Kn = K0 · (110 %)n

Es stören jetzt nur noch die 110 % in den Klammern. Schreiben wir 110 % als 100 % + 10 %, denn darin ist der Zinssatz p = 10 % enthalten: 110 % = 100 % + p

Eingesetzt in unsere Formel ergibt das: Kn = K0 · (110 %)n
Kn = K0 · (100 % + 10 %)n
Kn = K0 · (100 % + p)n

Die 100 % können wir schreiben als 100 % = 100 : 100 = 1 und erhalten:

Kn = K0 · (1 + p)n

Damit haben wir die Zinseszinsormel hergeleitet.

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