Mathe F03: Lineare Funktionen in Normalform

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Laut Lehrplan: 8. Klasse

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F03-1 Lineare Funktion in Normalform - Funktionsgleichung

Funktionsgleichung in Normalform f(x) = m·x + n, Lineare Gleichung, Schnittpunkt mit y-Achse, Steigung und Steigungsdreieck

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Soviel dazu. Das war wirklich viel Neues. Nutzt als nächstes die Lernprogramme zu den linearen Funktionen, um euer Wissen zu testen.

Wissen zur Lektion

Normalform einer linearen Funktion

Die Normalform einer linearen Funktion sieht stets so aus:

f(x) = m·x + n

Dabei entspricht das m der Steigung und das n steht für den y-Achsenabschnitt, beschreibt also in welcher Höhe die y-Achse geschnitten wird.

Für f(x) = 2·x + 4 wird die y-Achse in einer Höhe von 4 geschnitten und die Steigung beträgt 2.

Gerade 1

Die Steigung m

Die Steigung m gibt den Verlauf der Funktion an. Ist m positiv, so steigt der Graph immerfort. Ist m hingegen negativ, so fällt der Graph. Ist m = 0, dann haben wir eine sogenannte konstante Funktion, die Gerade ist also parallel zur x-Achse. Zu sehen ist das auch an den drei folgenden Graphen.

Gerade 2

Die Steigung kann dabei als sogenanntes Steigungsdreieck betrachtet werden bzw. mit einem Steigungsdreieck berechnet werden. Das heißt man zeichnet einen Abstand für x (von links nach rechts) und einen Abstand für y (von unten nach oben) ein und berechnet deren Verhältnis per Division. Der Abstand für x ergibt sich aus einem x-Wert und einem folgenden x-Wert, wir schreiben Differenz Δx = x2 - x1. Das Δx wird Delta x genannt. Die Steigung berechnet sich damit durch m = (y2-y1) / (x2-x1) = Δy -Δ x. Beispielhaft an unserer Funktion f(x) = 2·x+4 gezeigt:

Steigung Gerade

Hier gehen wir mit dem x-Wert um 1 Einheit nach rechts. Die Differenz (das Zeichen Δ steht für Differenz bzw. Abstand) aus x2-x1 ist also 1. Bzw. rechnerisch festgehalten: Δx = x2 - x1 = 1 - 0 = 1. Nun muss noch die Höhe abgelesen werden. Dazu müssen wir 2 Einheiten nach oben gehen. Die Differenz für y ist Δy = 2. Wir können sie berechnen über Δy = y2 - y1 = 6 - 4 = 2. Das m ergibt sich dann mit m = 2/1 = 2.

Der y-Achsenabschnitt

Während m die Steigung angibt, gibt der y-Achsenabschnitt n die "Höhe" der Geraden an, an welcher sie die y-Achse schneidet. Dadurch wird die Gerade also verschoben.

Gerade 3

Die drei Geraden haben die gleiche Steigung, sind aber nach oben bzw. nach unten verschoben. Man spricht hier von "parallelen Geraden".

Spezialformen wie f(x)=x

Eine lineare Funktion hat die Normalform f(x) = m·x + n. Dies ist manchmal nicht sofort zu erkennen, wenn beispielsweise g(x) = x angegeben ist. Hier haben wir m = 1 und n = 0, also eine lineare Funktion in der Form g(x) = 1·x + 0 vorliegen, wobei die 0 und die 1 nicht geschrieben werden. Dies gilt ebenfalls für die bereits erwähnte konstante Funktion, die keine Steigung hat (also m = 0). Hier wird meist notiert: f(x) = n, als Normalform wäre dies: f(x) = 0·x + n. Der Graph einer konstanten Funktion ist parallel zur x-Achse.

Konstante Gerade

Merken wir uns außerdem: Geht der Graph durch den Koordinatenursprung, so ist n = 0 und aus:
f(x) = m·x + n
wird
f(x) = m·x + 0
f(x) = m·x

Oder andersherum: Gibt uns der Lehrer zum Beispiel die Gleichung: f(x) = x, so wissen wir, dass sie sich ebenfalls in die Normalform bringen lässt: f(x) = 1·x + 0

Wir finden die Normalform auch bei Gleichungen, die keine Steigung haben. So lässt sich z. B. f(x) = 2 auch darstellen als f(x) = 0·x + 2. Hier gibt es keine Steigung und wir erhalten eine Parallele zur x-Achse, die die y-Achse bei 2 schneidet. Solche Funktionen heißen konstante Funktionen.

Interessant ist noch, dass g(x) = x auch unter dem Namen "1. Winkelhalbierende" bekannt ist, da sie im ersten Quadranten (also dort wo x und y positiv sind, rechts-oberer Bereich des Koordinatensystems), den Winkel von 90° halbiert und auf 45° verläuft. Neben der 1. Winkelhalbierenden gibt es noch die "2. Winkelhalbierende", die von links oben nach rechts unten verläuft, sie hat die Funktionsgleichung h(x) = -x.

Winkelhalbierende

Anwendungen linearer Funktionen

Punktprobe

Es mag Situationen geben, wo von euch gefordert wird zu überprüfen, ob ein bestimmter Punkt Teil einer linearen Funktion ist, also auf der entsprechenden Geraden liegt. Die sogenannte „Punktprobe“ fordert von euch, dass ihr das überprüft. Eine Möglichkeit dies zu tun, ist es den x-Wert des Punktes P(x|y) in die lineare Funktion einzusetzen und den y-Wert zu überprüfen. Beispielhaft sieht das so aus:

"Überprüfe ob A(1|2) oder B(1|4) auf der linearen Funktion mit f(x) = x + 3 liegt."

Herangehensweise:

1. Funktion aufstellen:
f(x) = x + 3

2. Wert 1 für x einsetzen und berechnen:
f(1) = 1 + 3 = 4

Man nimmt sich den x-Wert 1 und setzt ihn ein. Der errechnet Wert ist der y-Wert. Dieser wird nun mit dem y-Wert des/der Punkt(e) verglichen. In diesem Falle haben wir y = 4 erhalten, was dem y-Wert von B entspricht. Folglich liegt B auf der Geraden, wohingegen A abseits der Geraden liegt.

Punktprobe

Gleichung einer linearen Funktion aufstellen

Es ist möglich, eine lineare Funktion aus gewissen gegebenen Bedingungen selbst aufzustellen. Dazu ist es nötig, mindestens zwei Bedingungen zu kennen. Das können entweder zwei Punkte sein, oder aber die Steigung und ein weiterer Punkt. Für letzteres wird die Punktsteigungsform benutzt für ersteres die Zweipunkteform. Beides schauen wir uns im Detail in der Lektion F09 Gleichung einer Linearen Funktion bestimmen an. Im Folgenden findet ihr zwei Beispielrechnungen. Übrigens kann man alternativ auch ein Lineares Gleichungssystem aus den Bedingungen aufstellen, dies unten als drittes Beispiel.

1. Punktsteigungsform

Werden ein Punkt und die Steigung einer linearen Funktion vorgegeben, so kann man die Normalform mittels der Punktsteigungsform angeben. Diese lautet:

f(x) = m·(x - x1) + y1

wobei m die bekannte Steigung ist und sich P bildet aus P(x1|y1).

An einer Beispielaufgabe sieht das dann so aus:

„Gib die Normalform der linearen Funktion an. Bekannt sei m = 2 und P(-1|3).“
f(x) = 2·(x - (-1)) + 3
f(x) = 2·(x + 1) + 3
f(x) = 2·x + 2·1 + 3
f(x) = 2·x + 5

Die Normalform lautet also f(x) = 2·x + 5.

2. Zweipunkteform

Hat man nicht die Steigung gegeben, sondern stattdessen nur zwei Punkte, so kann man trotzdem die Gleichung für die lineare Funktion aufstellen, auch wenn eine andere Formel verwendet werden muss, und zwar die Zweipunkteform. Diese lautet:

f(x) = (y2-y1) / (x2-x1) · (x - x1) + y1

Dabei ist der erste Faktor (y2-y1) / (x2-x1) nichts anderes als die Steigung m wie wir sie im entsprechenden Kapitel kennen gelernt haben. Also:

f(x) = m · (x - x1) + y1

An einer Beispielaufgabe sieht das dann so aus:

„Bestimme die lineare Funktion, die durch die Punkte A(1|2) und B(4|5) geht“.
f(x) = (5 - 2) / (4 - 1) · (x - 1) + 2
f(x) = 3/3 · (x-1) + 2
f(x) = 1 · (x-1) + 2
f(x) = x - 1 + 2
f(x) = x + 1
Die Gleichung lautet also f(x) = x + 1

3. Mittels eines linearen Gleichungssystems

Eine weitere Möglichkeit eine lineare Funktion aufzustellen und dabei nicht auf einer der obigen Formel zurückgreifen zu müssen, ist die Verwendung eines linearen Gleichungssystems, das wir später noch genauer kennenlernen. Zur Lösung nehmen wir die beiden Punkte von oben A(1|2) und B(4|5). Mit dem Wissen, dass eine Geradengleichung die Form f(x) = m·x + n hat, kann man nun zwei Gleichungen aufstellen. Mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen kann man die Parameter m und n bestimmen.

2 = m·1 + n
5 = m·4 + n

Beide Seiten nach n umgestellt:

n = 2 - m
n = 5 - 4·m

Nun sieht man, dass n durch zwei Arten ausgedrückt werden kann, also durch zwei Gleichungen beschrieben wird. Die beiden Terme (2-m) und (5-4·m) müssen also dem gleichen Wert entsprechen. Nutzen wir zur Auflösung das sogenannte Gleichsetzungsverfahren und setzen beide Gleichungen gleich:

	n = n
2 - m = 5 - 4·m |+4·m -2
3·m = 3 |:3
m = 1

Diesen ermittelten Wert für m nutzen wir nun und setzen ihn in eine der beiden oberen Gleichungen ein, um das n zu bestimmen:

n = 2 - m     | m=1
n = 2 - 1
n = 1

Es ergibt sich damit insgesamt:

f(x) = m·x + n | m=1 und n=1
f(x) = 1·x + 1
f(x) = x + 1

Das gleiche Resultat, das wir auch bei der Zweipunkteform ermittelt hatten.

Nullstelle und y-Achsenabschnitt bestimmen

Eine Aufgabenstellung bezüglich linearer Funktionen mag lauten, dass die Schnittpunkte mit den Achsen bestimmt werden sollen. Da es zwei gibt, seien beide Verfahren zur Bestimmung der Schnittpunkte vorgestellt.

y-Achsenschnittpunkt

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist schnell bestimmt. Dieser wird durch den y-Achsenabschnitt direkt angegeben. Sprich für f(x) = m·x + n haben wir direkt den Schnittpunkt mit Sy(0|n) bestimmt. Das kann man auch schnell zeigen, denn der Schnittpunkt mit der y-Achse verlangt, dass wir die lineare Funktion für x = 0 anschauen, das heißt der Punkt muss auf jeden Fall den x-Wert 0 haben, um auf der y-Achse zu liegen. Richtig, die y-Achse verläuft durch x = 0. Wir setzen also für x die 0 ein: f(0) = m·0 + n = n. Nur n bleibt übrig und damit ist unser Schnittpunkt Sy(0|n).

x-Achsenschnittpunkt: Nullstelle berechnen

Um den Schnittpunkt mit der x-Achse (die sogenannte "Nullstelle") zu bestimmen, muss der y-Wert 0 sein. Denn ein Punkt, der auf der x-Achse liegt, hat die y-Koordinate 0 (also die Höhe 0). Erinnern wir uns: Die x-Achse verläuft stets in der Höhe 0 (y = 0) und alle Punkte auf ihr haben ebenso die Höhe 0. Es muss also f(x) = m·x + n = 0 bestimmt werden, um den Punkt S(x|0) zu erhalten. Dabei ist die x-Koordinate dieses Punktes die Nullstelle. Das heißt, wir wissen, dass Punkt S(x|y) mit y = 0, also S(x|0) die Nullstelle x enthält. Rechnet man dies allgemein aus, führt dies zu einer allgemeinen Berechnungsformel:

f(x) = m·x + n = y
f(x) = m·x + n = 0
m·x + n = 0 |-n
m·x = -n | :m
x = -n:m
x = -n/m (Bruchschreibweise)

Der Schnittpunkt einer linearen Funktion kann also mit Sx (-n/m | 0) angegeben werden.

Berechnung am Beispiel: „Bestimme die Nullstelle von f(x) = 2·x + 3.“

Der lange Rechenweg, indem wir y = 0 setzen:
f(x) = 2·x + 3 = y   | y=0
f(x) = 2·x + 3 = 0
2·x + 3 = 0 |-3
2·x = -3 |:2
x = -3:2
x = -3/2 (Bruchschreibweise)

Oder der kurze Rechenweg, indem wir die Berechnungsformel x = -n/m verwenden.

f(x) = 2·x + 3 = y
x = -n/m
x = -3/2

Beide Berechnungen führen zum gleichen Ergebnis, dem Schnittpunkt Sx (-3/2 | 0). Es ist letztlich die gleiche Berechnung. Hinweis: Der Schnittpunkt wird statt mit Sx auch als N angegeben.

Schnittstelle

Soweit die Lektion zu den linearen Funktionen in Normalform.

Wenn ihr den Stoff verstanden habt, so versucht, die linearen Funktionen als nächstes euren Freunden zu erklären. :-)

Mathe-Programme Lineare Funktionen

Die Steigung eines linearen Graphen wird allgemein meist mit m bezeichnet (einer sogenannten Variablen). m steht vor dem x. Die Steigung ergibt sich aus dem Verhältnis von Höhe zu Breite. Eine Steigung kann positiv, negativ, null oder sogar "nicht definiert" sein. Im Folgenden könnt ihr die Lernprogramme nutzen, um euer Wissen zu den linearen Funktionen zu testen:

1. Lineare Funktion - Mit Steigung spielen! 2. Lineare Funktion - Erst die Steigung wählen, dann den Schnittpunkt! 3. Lineare Funktion - Zwei Punkte setzen und Gleichung selbst erstellen! 4. Nullstelle finden beim linearen Graphen 5. Funktion ermitteln aus 2 Punkten
  • Steigung eines linearen Graphen
    Steigung eines linearen Graphen
    Bewegt die Maus und seht die Abstände für Breite (grün) und Höhe (blau) und die sich ergebende Steigung m (der Wert, der vor dem x steht).
  • Steigung und Schnittpunkt mit y-Achse
    Steigung und Schnittpunkt mit y-Achse
    Zuerst die Steigung wählen (mit Mausklick bestätigen) und danach die Höhe auf der y-Achse einstellen. Die Normalform wird dabei angezeigt.
  • Lineare Funktion in Normalform
    Lineare Funktion in Normalform
    Hier könnt ihr euch die Normalform einer Funktion: f(x) = m*x + n erstellen, indem ihr zwei Punkte A und B setzt.
  • Nullstellen des linearen Graphen
    Nullstellen des linearen Graphen
    Mit diesem Programm könnt ihr zwei Punkte A und B setzen und erhaltet die Funktionsgleichung sowie die schrittweise Berechnung der Nullstelle angezeigt.
  • Lineare Funktion aus 2 Punkten
    Lineare Funktion aus 2 Punkten
    Dieses Programm berechnet aus zwei Punkten die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Gebt auch eigene Punkte ein. Zusätzlich wird euch der Rechenweg angezeigt.
Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Funktionen in Normalform, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

A: Lies die Funktionsgleichung in Normalform aus den gegebenen Graphen ab.

A1. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A1


A2. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A2


A3. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A3


A4. Graph
Lineare Funktionen Aufgabe A4


B: Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen
1. f(x) = 2·x + 3
2. g(x) = 6·x - 4
3. h(x) = -x + 3
4. k(x) = 12·x - 4
5. m(x) = -2·x - 4


C: Punktprobe
Liegen die Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion?

1. f(x) = 2·x + 2 → Punkte A(1|4), B(2|4), C(3|4)
2. g(x) = -3·x + 1 → Punkte A(0|2), B(1|2), C(1|-2)
3. h(x) = -x + 1 → Punkte A(0|0), B(5|0), C(1|0)
4. k(x) = 3·x + 12 → Punkte A(1|15), B(2|18), C(3|21)


D: Punktsteigungsform und Zweipunkteform
Bestimme die lineare Funktion aus den Angaben.

1. A(1|0) und B(2|1)
2. A(-3|4) und B(3|8)
3. A(2|17) und m = 3
4. A(1|2) und m = 12

Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Formel Lineare Gleichung, Lineare Funktionen in Normalform, Funktionsgleichungen/Lineare Gleichungen aufstellen, Schnittpunkt mit y-Achse und x-Achse, Achsenschnittpunkte, Schnittpunkt, linear, Steigung, Steigungsdreieck, Geradengleichung, Punktsteigungsform

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