VEK05: Skalarmultiplikation

Inhalte:

Laut Lehrplan: 7. - 8. Klasse

Mathe-Videos

Nach der Vektoraddition und der Vektorsubtraktion folgt die Multiplikation, wir multiplizieren einen Skalar (eine Zahl) mit einem Vektor und nennen das ganze Skalarmultiplikation. Warum wir die Zahl "Skalar" nennen, erfahrt ihr im Einführungsvideo.

VEK05-1 Skalarmultiplikation - Einführung Skalar mal Vektor

Was ist ein Skalar (Zahl), wie multiplizieren wir einen Skalar mit einem Vektor s·v=r, was bedeutet das geometrisch. Vektorlängen entsprechend des Skalars (Vektorstreckung, Vektorstauchung). Gegenvektor mit (-1)·v.

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Weitere Videos stehen dir als Kunde zur Verfügung:

  • Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz für die Skalarmultiplikation. Geometrische Darstellung des Distributivgesetzes s·(a+b) = s·a + s·b für die Skalarmultiplikation.
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Wissen zur Lektion

Was ist ein Skalar?

Der Begriff "Skalar" gilt auf den Mathematiker William Rowan Hamilton zurück. Er sagte, der Skalar skaliert (also vergrößert bzw. verkleinert) den Vektor bzw. die Vektorlänge.

Skalarmultiplikation

Merkt euch die in den Videos aufgeführten Fälle für die Skalarmultiplikation s·v = r mit:

s = 1 keine Skalierung
s > 1 Vektorstreckung
0 < s < 1 Vektorstauchung
s = 0 Nullvektor
-1 < s < 0 gestauchter Gegenvektor
s = -1 Gegengevektor
s < -1 gestreckter Gegenvektor

Wenn der Skalar positiv ist, bleibt die Vektorrichtung unverändert. Ist der Skalar negativ, kehrt sich die Vektorrichtung um, der Vektor zeigt dann in die entgegengesetzte Richtung.

Multiplizieren wir den Vektor mit dem Skalar s = 0, so erhalten wir den Nullvektor:

Nullvektor via Skalarmultiplikation

Multiplizieren wir unseren Vektor mit dem Skalar s = (-1), dann erzeugen wir seinen Gegenvektor:

Gegenvektor

Bei jeder Multiplikation mit einem negativen Skalar, dreht sich der Vektor um 180°, das heißt seine Richtung wird umgekehrt.

Richtungsänderung Skalarmultiplikation

Bei der Skalarmultiplikation muss der Skalar stets mit allen Komponenten des Vektors multipliziert werden:

Skalarmultiplikation Beispiel

Rechengesetze

Die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten ebenfalls für die Skalarmultiplikation:

Rechengesetze Skalarmultiplikation

Grafisch können wir das Distributivgesetz so darstellen:

Skalarmultiplikation Distributivgesetz

Wie auch im Video gezeigt, erlauben uns die Rechengesetze für Vektoren ebenfalls wie folgt zu rechnen: (-s)·v = s·(-v) = -(s·v)

Mathe-Programme zu Vektoren

Nachstehend das Programm zur Skalarmultiplikation aus den Videos:

  • Skalarmultiplikation
    Skalarmultiplikation
    Hier könnt ihr eine Zahl (sog. Skalar) mit einem Vektor multiplizieren. Der Vektor streckt oder staucht sich je nach Wert des Skalars. Bei negativen Werten ändert der Vektor seine Richtung.
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Häufige Fragen

Eine Auswahl an häufigen Fragen zu Vektoren:

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Tags: Skalierung, Skalieren, gestauchter Gegenvektor, gestreckter Gegenvektor, gleiche und entgegengesetzte Richtungen, einfache Vektorrechnung für Schüler
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