Definition von Differenzialgleichungen
Eine Differenzialgleichung stellt einen funktionellen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen her.
Bekanntlich führt das zweimalige differenzieren einer cos-Funktion wieder auf eine cos-Funktion:
\( y\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right); \quad \omega = 2\pi \cdot f \) Gl. 228
Worin a die Amplitude und f die Frequenz bzw. w die Kreisfrequenz einer Schwingung darstellen. Wird nun y(t) zweimal nach der Zeit t differenziert ergibt sich:
\( \begin{array}{l}\dot y\left( t \right) = a \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) \\ \ddot y\left( t \right) = - a \cdot {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\end{array} \) Gl. 229
Jetzt kann der Ausdruck \(a \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\) durch Gl. 228 ersetzt werden:
\( \ddot y\left( t \right) = - {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) \) Gl. 230
oder
\( \ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0 \) Gl. 231
Gl. 231 ist eine Differenzialgleichung, deren Lösung eine cos-Funktion ist.
Das gewählte Beispiel macht deutlich, dass Differenzialgleichungen oft einen physikalischen Hintergrund haben. Sie sind allerdings nicht nur dort, sondern überall anzutreffen, wo funktionelle Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen besteht.
Terminologie
Es wird in gewöhnliche und partielle DGLn unterschieden:
• Gewöhnliche DGL
Eine DGL, wie in Gl. 231 angegeben, die nur von einer Variablen abhängig ist, wird als gewöhnlich bezeichnet.
Hingegen sind
• partielle DGL
Funktionen mehrerer Variabler z.B.
\(\ddot y\left( {t,s} \right) + {C_1} \cdot \dot y\left( {t,s} \right) +
{C_2} \cdot y\left( {t,s} \right) = 0\)
Weiterhin gibt die Ordnung die höchste vorkommende Ableitung an und der Grad die höchste vorkommende Potenz, z.B. ist
\( {\ddot y^3}\left( t \right) + {C_1} \cdot \dot y\left( t \right) + {C_2} \cdot y\left( t \right) = 0 \)
eine gewöhnliche DGL 2. Ordnung und dritten Grades.
Auch gemischte Formen werden so gezählt, z.B. ist
\( \ddot y\left( t \right) \cdot y\left( t \right) + {C_1} \cdot \dot y\left( t \right) + {C_2} \cdot y\left( t \right) = 0 \)
eine gewöhnliche DGL 2. Ordnung und zweiten Grades.
Schließlich erfolgt noch eine Unterscheidung in homogene und inhomogene DGLn:
• eine homogene DGL
hat wie Gl. 232 nur Glieder, in denen die Funktion, ihre Ableitungen oder Potenzen der Funktion oder ihrer Ableitungen auftreten. Auf der rechten Seite der Gleichung steht eine 0.
• eine inhomogene DGL
hat auf der rechten Seite der Gleichung einen von 0 verschiedenen Ausdruck, die sog. Störung. Die DGL
\( \ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = {t^2} \)
ist eine inhomogene DGL mit dem Störterm t2.