Wronski-Determinante

Lesedauer: 4 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Wronski-Determinante dient dem Prüfen auf lineare Unabhängigkeit der partikulären Lösungen.

Jede lineare DGL n. Ordnung hat n linear unabhängige partikuläre Lösungen. Wären in Gl. 251 z.B. \({y_1}\left( t \right)\) und \({y_2}\left( t \right)\) nicht linear unabhängig, könnten beide partikulären Lösungen zu einer zusammengefasst werden:

\( C_1 y_1 (t) + C_2 α y_1 (t) = C_1' y_1 (t); \quad C_1' = C_1 + α · C_2 \)

Die Folge davon wäre, dass der allgemeinen Lösung eine Konstante fehlen würde, die Lösung also unvollständig wäre.

Die Forderung nach linearer Unabhängigkeit ist nicht nur für die pertikulären Lösungen selbst, sondern auch für ihre Ableitungen zu stellen:

\( y\left( t \right) = {C_1}{y_1}\left( t \right) + {C_2}{y_2}\left( t \right) + {C_3}{y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{y_n}\left( t \right) \) Gl. 252

\( \dot y\left( t \right) = {C_1}{\dot y_1}\left( t \right) + {C_2}{\dot y_2}\left( t \right) + {C_3}{\dot y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{\dot y_n}\left( t \right) \)

\( \ddot y\left( t \right) = {C_1}{\ddot y_1}\left( t \right) + {C_2}{\ddot y_2}\left( t \right) + {C_3}{\ddot y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{\ddot y_n}\left( t \right) \)

usw.

Hier liegt ein Gleichungssystem aus n Gleichungen mit n Konstanten vor. Aus der Determinantenrechnung ist bekannt, dass linear abhängige Zeilen oder Spalten zu einer verschwindenden Determinante führen. Daher wird das Gleichungssystem nach Gl. 252 in eine Koeffizienten-Determinante, die Wronski-Determinante, überführt. Das Fundamentalsystem besteht dann aus linear unabhängigen partikulären Lösungen, wenn die Wronski-Determinante nich verschwindet:

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c} } { {y_1} } & { {y_2} } & {...} & { {y_n} } \\ { { {\dot y}_1} } & { { {\dot y}_2} } & {...} & { { {\dot y}_n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( n \right)} }_1} } & { { {\mathop y\limits^{\left( n \right)} }_2} } & {...} & { { {\mathop y\limits^{\left( n \right)} }_n} } \end{array} } \right| \ne 0 \) Gl. 253

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