Partikuläre Lösungen und Superpositionssatz

Lesedauer: 5 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Mit Gl. 231

\(\ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0\)

ist eine Differenzialgleichung für die Funktion

\( y\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right); \quad \omega = 2\pi \cdot f \)

aus Gl. 228 gegeben. Wie bereits nachgewiesen, erfüllt diese Funktion die DGL nach Gl. 231. Wird nun statt der Cos-Funktion die Prüfung für eine Sin-Funktion vorgenommen, stellt man fest, dass auch diese die DGL erfüllt, denn:

\( y\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right); \quad \omega = 2\pi \cdot f \) Gl. 250

\( \begin{array}{l} \dot y\left( t \right) = \omega a \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right); \\ \ddot y\left( t \right) = - {\omega ^2}a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\end{array} \)

Daraus folgt, dass durchaus verschiedene Funktionen die gleiche DGL befriedigen können. Solche Funktionen werden partikuläre oder spezielle Lösungen genannt. Nun ist aber ersichtlich, dass für die Lösung einer DGL n. Ordnung n Integrationsschritte erforderlich sind. Mit jeder Integration ist das hinzufügen einer Konstanten verbunden - bei n Integrationen sind dies n Konstanten. Jeder Konstanten entspricht wiederum eine partikuläre Lösung. Es gilt der Satz:

Jede homogene DGL n. Ordnung hat auch n partikuläre Lösungen. Die Lösung einer DGL ist erst dann vollständig (allgemein gültig), wenn alle n partikulären Lösungen angegeben werden. Die Gesamtheit der partikulären Lösungen bilden das Fundamentalsystem der DGL.

Seien \({y_1}\left( t \right),\,\,{y_2}\left( t \right),\,\,{y_3}\left( t \right),\,...\,{y_n}\left( t \right)\) partikuläre Lösungen einer homogenen DGL, so wird die allgemeine Lösung dieser DGL durch Superposition (Überlagerung) gefunden:

\( y\left( t \right) = {C_1}{y_1}\left( t \right) + {C_2}{y_2}\left( t \right) + {C_3}{y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}{y_n}\left( t \right) \) Gl. 251

Die Konstanten C1 bis Cn sind frei wählbar und werden durch gewisse Randbedingungen definiert.

Beispiel:

Die DGL \(\ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0\) hat die allgemeine Lösung

\(y\left( t \right) = {C_1} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) + {C_2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\).

Zur Bestimmung der Konstanten sind zwei Randbedingungen notwendig. Es sei

\(y\left( 0 \right) = 1\) und \(y\left( {\frac{\pi}{ {2\omega } } } \right) = 0\)

Einsetzen in die Lösungsgleichung ergibt \(1 = {C_2}\) und \(0 = {C_1}\) damit ergibt sich die bekannte Lösung für die Cos-Funktion:

\( y\left( t \right) = 1 \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \)

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