G33: Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen

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Laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

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Wir hatten uns bei den Funktionen bereits Lineare Gleichungssysteme angeschaut und die Lösungsverfahren Gleichsetzungsverfahren und Einsetzungsverfahren erläutert. Auch hatten wir dort das Additionsverfahren mit Bezug auf Funktionen erklärt. Nun ist es Zeit, das Thema algebraisch anzugehen, das heißt, wir wollen die Rechenverfahren darstellen und anwenden. Ihr werdet dabei viel Neues lernen, viel Spaß dabei.

G33-1 Gauß-Verfahren - Grundlagen LGS, Additionsverfahren

Was ist ein LGS (Lineares GleichungsSystem) und wie benutzt man es. Wie funktioniert das Additionsverfahren zum Lösen von LGS. Erlaubte Rechenmittel: Äquivalenzumformungen, Gleichungen miteinander addieren.

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Wissen zur Lektion

Was ist das Gauß-Verfahren?

Mit dem Gauß-Verfahren (kurz für "Gaußsches Eliminationsverfahren") lassen sich Lösungen von beliebig großen linearen Gleichungssystemen bestimmen. Das Verfahren ist eine besondere Form bzw. mehrfache Ausführung des Additionsverfahrens.

Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem (oft LGS abgekürzt) besteht aus beliebig vielen linearen Gleichungen, die dieselben Unbekannten besitzen. So sieht zumBeispiel ein LGS aus, das aus drei linearen Gleichungen besteht und drei verschiedene Unbekannte besitzt:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5
II. 4·x + 5·y + 1·z = -1
III. 2·x - 5·y + 7·z = 9

Möchte man ein LGS auflösen, so sucht man Werte für x, y und z, sodass alle drei linearen Gleichungen (I, II und III) erfüllt sind. Dies kann man mit Hilfe eines Lösungsverfahrens wie dem Gleichsetzungsverfahren, dem Einsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren herausfinden (vergleiche Lektion F05). Wir betrachten zunächst nur das Additionsverfahren, da wir dieses für das Gauß-Verfahren benötigen.

Rechenoperationen innerhalb eines LGS

1. Addition von Gleichungen

Warum man Gleichungen miteinander addieren kann, machen wir uns an einem Beispiel klar:

9 + 2 = 11
15 + 8 = 23

Beide Gleichungen sind wahr, da wir auf beiden Seiten jeweils denselben Wert erhalten.

Jetzt addieren wir die erste Gleichung auf die zweite Gleichung. Das können wir mit zwei verschiedenen Wegen erreichen:

A: Wir addieren einfach untereinander:

9 + 2 = 11
15 + 8 = 23
24 + 10 = 34

B: Wir addieren die jeweils linken Seiten komplett aufeinander und die jeweils rechten Seiten auch:

(9 + 2) + (15 + 8) = 11 + 23

34 = 34

Wir sehen, dass bei beiden Wegen beide Seiten den Wert 34 annehmen. Die Gleichung ist also wahr. Wir können also Gleichungen aufeinander addieren und beide Seiten sind immer noch äquivalent, das heißt im Werte gleich.

2. Vertauschen von Gleichungen

In einem LGS ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Gleichungen stehen. Das Vertauschen von zwei oder mehreren Gleichungen ändert nichts daran, dass die Gleichungen trotzdem alle erfüllt sein müssen.

3. Vertauschen von Variablen

Aufgrund des Kommutativgesetzes, können wir die Variablen innerhalb der Gleichungen ohne Probleme in einer anderen Reihenfolge schreiben. So kann man zum Beispiel statt:

5·x + 4·y + z = 5

auch schreiben:

4·y + 5·x + z = 5

Dieses Wissen wird uns später bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens nützlich sein.

4. Äquivalenzumformungen

Benutzt man Äquivalenzumformungen, so addiert oder subtrahiert man einen Wert auf beiden Seiten einer Gleichung oder man multipliziert oder dividiert beide Seiten einer Gleichung mit einem Wert (Übrigens: Auch hier gilt, die Division durch 0 ist nicht möglich. Zudem ist die Multiplikation mit 0 ebenfalls nicht erlaubt, da dann auf beiden Seiten immer 0 = 0 stehen wird.). Dies verändert den Wert der Unbekannten in der Gleichung nicht. Anschaulich wird dies an diesem Beispiel:

9 + 2 = 11
3·x + 2 = 11 | ·(-4)
3·x·(-4) + 2·(-4) = 11·(-4)
-12·x - 8 = -44

Zur Erklärung:
Da wir die Zahl 9 auch als 3·3 darstellen können setzen wir x = 3. Wir wissen also, dass x die zweite Gleichung löst. Wir haben beide Seiten mit (-4) multipliziert. Wir wissen ja, dass aus der vorherigen Gleichung x = 3 sein soll. Setzen wir doch mal in die letzte Gleichung (also nachdem mit -4 multipliziert wurde) x = 3 ein:

-12·x - 8 = -44
-12·(3) - 8 = -44
-36 - 8 = -44

Wir sehen direkt, dass x = 3 die Gleichung löst.

Wir können also ohne Probleme Äquivalenzumformungen benutzen, ohne unsere Variablen zu verändern.

Additionsverfahren

Bei dem Additionsverfahren lösen wir ein LGS, indem wir Gleichungen des LGS miteinander addieren und damit Variablen beseitigen.

Bauen wir uns nun aus den bereits im Beispiel benutzten Gleichungen ein Gleichungssystem mit den zwei Variablen x und y:

9 + 2 = 11
15 + 8 = 23

Wie bereits oben bei den Rechenoperationen erwähnt, können wir die Zahl 9 auch als 3·3 darstellen und die Zahl 15 als 5·3. Wir setzen also wieder x = 3.

Mit diesem festgelegtem x können wir die Zahl 9 als 3·x und die Zahl 15 als 5·x darstellen. Setzen wir das in die beiden Gleichungen ein, dann erhalten wir:

I. 3·x + 2 = 11
II. 5·x + 8 = 23

Jetzt sagen wir noch, dass y = 2 ist. Es ist 8 = 4·2 = 4·y. Das setzen wir auch ein:

I. 3·x + y = 11
II. 5·x + 4·y = 23

Wir haben zwei lineare Gleichungen, die aus denselben Variablen bestehen, damit ein gültiges LGS. Wir kennen die Lösungen bereits (x = 3 und y = 2), jedoch wollen wir jetzt einmal die Lösungen berechnen, unter der Annahme sie seien uns nicht bekannt.

Da nach einer Addition der beiden Gleichungen, wie man mit reinem Hinschauen erkennen kann, keine der Variablen wegfällt, müssen wir eine der Gleichungen zunächst umformen. Dies machen wir mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.

Zur Hilfe schreiben wir uns noch den Faktor 1 vor unser y in der ersten Gleichung:

I. 3·x + 1·y = 11
II. 5·x + 4·y = 23

Wählen wir Gleichung I als Gleichung, die umgeformt werden soll. Wir multiplizieren mit (-4), da wir wissen, dass 1·y·(-4) + 4·y = 0 ist und somit bei Addition der beiden Gleichungen das y wegfällt.

I. 3·x + 1·y = 11 |·(-4)
II. 5·x + 4·y = 23

Wir nennen die umgeformte Gleichung I' und multiplizieren alle Elemente der Gleichung mit (-4):

I. 3·x + 1·y = 11 |·(-4)
I'. -12·x + (-4)·y = -44

Schreiben wir beide Gleichungen untereinander sehen wir direkt, dass unser y bei einer Addition der beiden Gleichungen wegfällt:

I'. -12·x + (-4)·y = -44
II. 5·x + 4·y = 23
(-4)·y + 4·y = 0

Wir addieren nun beide Gleichungen:

I'. + II.
(-12·x + (-4)·y ) + (5·x + 4·y) = -44 + 23
-12·x -4·y + 4·y + 5·x = -44 + 23
-12·x + 0 + 5·x = -44 + 23

Als Ergebnis der Addition erhalten wir:

-7·x = -21

Aus dieser Gleichung erhalten wir nun x = 3 (auch wenn wir die Addition untereinander geschrieben hätten, wären wir auf dasselbe Ergebnis gekommen).

Da wir jetzt eine der Variablen kennen, können wir diese in eine der beiden Gleichungen, die wir ursprünglich hatten, einsetzen:

I. 3·x + 1·y = 11
II. 5·x + 4·y = 23

Setzen wir x = 3 in die erste Gleichung ein, dann haben wir eine Gleichung mit einer Variablen, die wir durch reines Umformen auflösen können:

I. 3·x + 1·y = 11 | x = 3
3·3 + 1·y = 11
9 + y = 11
y = 2

Als Lösung des LGS erhalten wir:

x = 3 und y = 2

Dies lässt sich auch als Lösungsmenge L = { (3|2) } schreiben.

Da wir bereits schon vorher wussten, dass diese Lösung richtig ist, erübrigt sich die Probe. Wer möchte, kann natürlich jetzt noch einmal unsere berechneten Werte für x und y in die beiden Gleichungen einsetzen und sehen, dass diese Werte die Gleichungen lösen.

Merke: Wer die Probe macht, steht immer auf der sicheren Seite.

Gauß-Verfahren zum Lösen von LGS

Wir wollen jetzt das nachstehende LGS lösen:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5
II. 4·x + 5·y + 1·z = -1
III. 2·x - 5·y + 7·z = 9

Wie der vollständige Name des Gauß-Verfahren bereits schon sagt, versuchen wir mit Hilfe des Additionsverfahrens mehrere Variablen zu eliminieren. Das machen wir so lange, bis wir die Stufenform (oder auch Zeilenstufenform genannt) erhalten. Das Gleichungssystem in Stufenform sieht später in etwa so aus:

LGS in Stufenform

Wir eliminieren also in der zweiten Gleichung die Variable x und in der dritten Gleichung die Variablen x und y. Für Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen/Variablen kann man sich merken, dass die erste Gleichung gleich bleibt, aber mit jeder nachfolgenden Gleichung immer eine Variable mehr eliminiert wird (von links ausgehend), sodass in der letzten Zeile nur noch möglichst eine Variable steht.

Wichtig ist, dass es in der Abbildung nur darum geht, was für eine Form so eine Stufenform besitzt. Die Werte der Koeffizienten vor den nicht wegfallenden Variablen und die Werte rechts vom Gleichheitszeichen können sich jedoch verändern und gleichen nicht unbedingt den Werten des ursprünglichen LGS, wie in der Abbildung.

Versuchen wir, unser LGS auf Zeilenstufenform zu bringen:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5
II. 4·x + 5·y + 1·z = -1
III. 2·x - 5·y + 7·z = 9

Zunächst einmal wollen wir das x in der zweiten Gleichung eliminieren (den Term 4·x). Wir wenden das Additionsverfahren an und suchen einen Wert "a", der mit 3 multipliziert 4 ergibt, damit wir die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren können und x wegfällt. Welchen Wert hat also a in 3·a = 4? Formen wir nach a um, so erhalten wir a = . Wir müssen also Gleichung I mit (-) multiplizieren, damit wir I auf II addieren können und x wegfällt.

Machen wir das und nennen unsere umgeformte Gleichung I', so haben wir:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5 | ·(-4/3)

I'. 3·x·(-4/3) + 3·y·(-4/3) - 1·z·(-4/3) = 5·(-4/3)

I'. -4x + (-4)·y + 4/3·z = -20/3

Schreiben wir Gleichung II unter I' und führen die Addition aus:

I'. -4x + (-4)·y + 4/3·z = -20/3
II. 4·x + 5·y + 1·z = -1
II'. 0 + 1·y + 7/3·z = -23/3

Jetzt wollen wir, dass x auch in Gleichung III wegfällt, deswegen multiplizieren wir Gleichung I mit (-2/3) und erhalten I''.

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5 | ·(-2/3)

I''. 3·x·(-2/3) + 3·y·(-2/3) - 1·z·(-2/3) = 5·(-2/3)

I''. -2·x + (-2·y) + 2/3·z· = -10/3

Addieren wir I'' und III:

I''. -2·x + (-2·y) + 2/3·z· = -10/3

III. 2·x - 5·y + 7·z = 9

III'. 0 + (-7)·y + 23/3·z = 17/3

Nun schreiben wir I, II' und III' untereinander:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5
II'. 0 + 1·y + 7/3·z = -23/3
III'. 0 + (-7)·y + 23/3·z = 17/3

Unsere erste Stufe haben wir jetzt bereits:

lgs stufenform stufe 1

Nun ist noch das y in Gleichung III' zu entfernen, wir wenden noch einmal das Additionsverfahren an, und zwar bei den letzen beiden Gleichungen:

II'. 0 + 1·y + 7/3·z = -23/3
III'. 0 + (-7)·y + 23/3·z = 17/3

Beide Gleichungen haben dieselben Variablen y und z, man kann sich vorstellen, man hätte ein LGS mit nur 2 Variablen. Wie man so etwas auflöst, haben wir ja bereits gelernt. Wir eliminieren also y in III'., indem wir II'. mit 7 multiplizieren, da:

1·y·7 + (-7)·y = 0

Wir rechnen also Gleichung II' · 7 und nennen die neue Gleichung II'':

II'. 0 + 1·y + 7/3·z = -23/3 | ·7
II''. 0 + 7·y + 49/3·z = -161/3

Jetzt schreiben wir II'' und III' untereinander und addieren die Gleichungen. Die Summe nennen wir nun III'':

II''. 0 + 7·y + 49/3·z = -161/3
III'. 0 + (-7)·y + 23/3·z = 17/3
III''. 0 + 0 + 72/3·z = -144/3

Anschließend können wir die Gleichungen I, II' und III'' untereinander schreiben und wir haben ein LGS in Stufenform:

lgs stufenforum stufe 2

Solche LGS lassen sich nun relativ einfach lösen. Man fängt bei der untersten Gleichung an und bestimmt den Wert für die einzige Variable in der Gleichung. Durch Einsetzen der Variable, deren Wert nun bekannt ist, in die Gleichung darüber und anschließendes Auflösen erhält man den Wert der nächsten Variable. Danach setzt man alle bekannten Variablen in die jeweils höhere Gleichung ein und löst dann wieder auf.

Also lösen wir als erstes die dritte Gleichung (III''):

III''. 72/3·z = -144/3

z = -144/3 : 72/3

z = -144/3 · 3/72

z = -144/3 · 3/72

z = -2

Jetzt können wir unseren Wert für z in die zweite Gleichung (II'.) einsetzen und nach y auflösen:

II'. 0 + 1·y + 7/3·z = -23/3 | z = -2
II'. 0 + 1·y + 7/3·(-2) = -23/3
1·y - 14/3 = -23/3
1·y = -23/3 + 14/3
y = -9/3
y = -3

Uns fehlt nur noch die Variable x. Diese Variable berechnen wir, indem wir y und z in Gleichung I einsetzen:

I. 3·x + 3·y - 1·z = 5 | y = -3 und z = -2
I. 3·x + 3·(-3) - 1·(-2) = 5
I. 3·x - 9 + 2 = 5
I. 3·x - 7 = 5
I. 3·x = 12
x = 4

Als Lösung des LGS haben wir:

z = -2, y = -3, x = 4

Setzen wir diese Werte zur Probe in die drei ursprünglichen Gleichungen ein, so sehen wir, dass alle drei Gleichungen aufgehen.

Gauß-Verfahren mit Koeffizientenmatrix

Da es viel Schreibarbeit bedeutet und unübersichtlich sein kann, bei jeder Umformung das gesamte LGS hinzuschreiben, kann man die sogenannte erweiterte Koeffizientenmatrix benutzen, um ein LGS darzustellen und schneller zu lösen. Wie genau das funktioniert und was eine erweiterte Koeffizientenmatrix ist, erklären wir an folgendem Beispiel.

Wir haben ein LGS, das so aussieht:

LGS mit Koeffizienten

Die farbig markierten Zahlen, also die Vorfaktoren der Variablen, sind Koeffizienten. Eine Matrix kann man sich generell als eine Art Tabelle vorstellen.

Wir schreiben unser LGS jetzt einmal ab, jedoch lassen wir die Variablen und die Pluszeichen wegfallen (Wichtig: Nur die Pluszeichen lassen wir weg, die Minuszeichen bleiben an den Koeffizienten erhalten). Das Gleichheitszeichen ersetzen wir durch einen senkrechten Strich. Um diese “Tabelle“ setzen wir jetzt noch Klammern und fertig ist die erweiterte Koeffizientenmatrix:

erweiterte koeffizientenmatrix

Die Koeffizientenmatrix heißt übrigens erweitert, da wir auch die Werte nach dem Gleichheitszeichen in die Matrix übernommen haben.

Mit dieser erweiterten Koeffizientenmatrix können wir nun dieselben Operationen durchführen wie mit einem LGS (siehe Rechenoperationen). Wir können Gleichungen (Zeilen) addieren, Gleichungen (Zeilen) vertauschen, Variablen (Koeffizienten) vertauschen und Äquivalenzumformungen durchführen.

Wichtig: Beim Vertauschen von Variablen (bzw. deren Koeffizienten) müssen wir zwingend ganze Spalten vertauschen.

Lösen wir unser LGS in Form der erweiterten Koeffizientenmatrix mit dem uns nun bekannten Gauß-Verfahren auf:

erweiterte koeffizientenmatrix

Wir eliminieren nun die ersten Koeffizienten: 4 in der zweiten Zeile und -2 in der dritten Zeile.

Multiplikation von I mit (-2) und Addition auf II:

koeffizientenmatrix umformung gauss

Diese neue Zeile setzen wir für Zeile II in die Matrix ein:

koeffizientenmatrix einsetzen zeile

Addieren wir I auf III und setzen das Ergebnis anschließend für III in der Koeffizientenmatrix ein:

koeffizientenmatrix umformung zeilen

Um nun in der dritten Zeile die 6 in der zweiten Spalte zu entfernen, multiplizieren wir die zweite Zeile mit (-3) und addieren diese auf die 3. Zeile. Das Ergebnis setzen wir für Zeile III in der Koeffizientenmatrix ein:

koeffizientenmatrix zeilen 2 und 3

Wir sehen, dass sich die Koeffizientenmatrix nun in Stufenform befindet. Überführen wir die einzelnen Gleichungen nun wieder in ein normales LGS mit Variablen, so können wir dies von unten nach oben auflösen, wie bereits vorab erklärt:

-3·z = 18
z = -6

2·y + 3·z = -6 | z = -6
2·y + 3·(-6) = -6
2·y + (-18) = -6
2·y = 12
y = 6

Und nun die erste Zeile:

2·x + 1·y + 3·z = 1 | y = 6, z = -6
2·x + 1·6 + 3·(-6) = 1
2·x + 6 - 18 = 1
2·x - 12 = 1
2·x = 13
x = 13/2 = 6,5

Damit haben wir die Lösung des LGS bestimmt:

z = -6, y = 6, x = 13/2

Auch hier könnt ihr gerne die Probe machen, indem ihr die berechneten Werte für x, y, z in alle drei Gleichungen einsetzt.

Häufigkeit von Lösungen

Es muss nicht immer sein, dass ein LGS genau eine Lösung besitzt. Gleichungssysteme können auch unendlich viele oder gar keine Lösung besitzen. Führen wir das Gauß-Verfahren durch, erhalten wir entweder genau eine Lösung (wie in dem vorigen Beispiel), oder wir können anhand des Aussehens der Koeffizientenmatrix sagen, ob das LGS unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat. Das sehen wir, wenn wir uns die letzte Zeile der Matrix anschauen.

Keine Lösung:

Die letzte Zeile der Matrix besteht aus Koeffizienten, die alle 0 sind. Hinter dem senkrechtem Strich (Gleichheitszeichen) befindet sich jedoch ein Wert der ungleich null ist. Ausgeschrieben als Gleichung wäre das, wie wir uns erinnern, 0·x + 0·y + 0·z = 18, was offensichtlich für beliebige x, y oder z keine wahre Aussage zulässt und damit keine Lösung liefert:

koeffizientenmatrix keine Lösung

Unendlich viele Lösungen:

Alle Einträge der letzten Zeile der Matrix sind 0.

koeffizientenmatrix unendlich viele Lösungen

Wollen wir nun irgendeine Lösung des LGS, so wählen wir uns die letzte Variable einfach beliebig.

Wollen wir alle Lösungen des LGS, so bestimmen wir uns die vorletzte Variable in Abhängigkeit von der letzten Variable.

In diesem Fall:

2·y = -6 - 3·z

y = -3 - 1,5·z

Jetzt können wir z = z setzen (das heißt wir belassen die Variable und suchen die Lösung in Abhängigkeit von z) sowie y = (-3 - 1,5·z) in die erste Gleichung einsetzen und nach x umformen.

Eindeutige Lösung:

Wenn in der letzten Zeilen der Matrix der letzte Koeffizient ungleich 0 ist, dann haben wir eine eindeutige Lösung. Beispiel 0·x + 0·y + 3·z = 18, was offensichtlich zur eindeutigen Lösung z = 6 führt.

koeffizientenmatrix eindeutige Lösung

Zusammenfassung des Vorgehens

Kurz eine Zusammenfassung wie man ein LGS mit dem Gauß-Verfahren löst:

1. LGS als Koeffizientenmatrix schreiben (falls gewünscht).

2. Eventuell Gleichungen bzw. Variablen vertauschen (zum Beispiel wenn die erste Variable in Gleichung I den Koeffizient 0 hat).

3. Das LGS auf Stufenform bringen. Hilfsmittel: Äquivalenzumformungen und Additionsverfahren.

4. Variablen von unten nach oben berechnen.

5. Lösungen notieren.

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Mit dem folgenden Programm könnt ihr beliebige LGS lösen (mit 2 bis 5 Unbekannten). Einfach die Koeffizienten eingeben und die Lösung wird automatisch berechnet.

  • LGS Löser
    LGS Löser
    Hier könnt ihr Lineare Gleichungssysteme mit bis zu 5 Variablen online berechnen. Die Lösung wird euch sofort angezeigt.

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Tags: Exponent, Exponenten in Gleichungen
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