G13: Ungleichungen

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Laut Lehrplan: 8. Klasse

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Nachdem wir uns in der Lektion Terme und Gleichungen angeschaut hatten, wie man Gleichungen umformt, lernen wir als nächstes die Ungleichungen kennen. Bei Ungleichungen dürfen wir ähnlich wie bei den Gleichungen auf beiden Seiten umformen, dabei müssen wir jedoch ein paar Besonderheiten beachten. Auch gibt es neue Rechenzeichen, die man für das Aufstellen von Ungleichungen benötigt. Welche das sind, erfahrt ihr im Lernvideo.

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  • Wie lassen sich Ungleichungen lösen. Welche Zeichen und Regeln benötigen wir. Umstellen von Ungleichungen und umformen von Termen. Größer und kleiner, größergleich und kleinergleich.

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Wissen zur Lektion

Was sind Ungleichungen?

Bevor man sich diese Lektion anschaut, sollte man bereits die Lektion G12 Terme und Gleichungen kennen, denn für diese Lektion benötigen wir Äquivalenzumformungen.

Ein einfaches Beispiel für eine Ungleichung ist der Vergleich der Größen zweier Menschen. Sagen wir ein Mensch ist 1,50 m und ein zweiter Mensch ist 1,80 m groß. Wir können nun sagen, dass der zweite Mensch größer ist als der erste Mensch. Genauso: Der erste Mensch ist kleiner als der Zweite. Das haben wir anhand der Zahlen der Größen festgemacht:

1,80 m ist größer als 1,50 m

und

1,50 ist kleiner als 1,80 m.

Da man in der Mathematik gerne abkürzt, benutzt man Symbole für diese beiden Verhältnisse:

Das Zeichen > heißt: … ist größer als

Das Zeichen < heißt: … ist kleiner als

Diese Zeichen nennt man auch Verhältniszeichen bzw. "aussagenlogische Symbole".

Man hat links und rechts von dem Zeichen natürlich auch zwei Zahlen stehen. Schreiben wir unser Beispiel mit Verhältniszeichen erhalten wir:

1,80 m ist größer als 1,50 m
1,80 m > 1,50 m

und

1,50 m ist kleiner als 1,80 m
1,50 m < 1,80 m

In der Grundschule hat man eventuell auch schon gehört, dass diese Zeichen mit einem Krokodilmaul verglichen werden. Das Maul des Krokodils ist zu der Seite gerichtet, die größer ist, weil sich das Krokodil die größere Beute sucht. Mit anderen Worten: Die Öffnung des Zeichens ist in Richtung des größeren Wertes gerichtet.

Wir haben somit Ungleichungen aufgestellt. Wie man vom Namen her schon schließen kann, sind beide Seiten einer Ungleichung nicht gleich. Um auszudrücken, dass etwas nicht gleich ist, verwendet man das Ungleich-Zeichen:

Statt größer oder kleiner anzugeben, können wir auch sagen:

1,80 m ungleich 1,50 m
1,80 m 1,50 m

Anschließend kann man dann ein passendes Verhältnis mit den Verhältniszeichen angeben.

Ungleichungen mit Variablen

Man kann wie in Gleichungen auch in Ungleichungen Variablen verwenden (sogenannte "Aussageform"). Wir können zum Beispiel schreiben:

x > 5

Wir haben nun eine Ungleichung, die wahr ist, für alle x, die größer als 5 sind. Das wäre zum Beispiel für x = 6, x = 7 oder x = 8 der Fall. Es gibt hier natürlich noch unendlich viele andere Möglichkeiten. Ungleichungen können also mehrere Lösungen besitzen.

Es gibt aber auch kompliziertere Ungleichungen, bei denen man nicht direkt sieht, für welche x-Werte die Ungleichung wahr ist.

Nehmen wir:

2·x - 5 > 2

Wenn wir nun unsere Lösungen, die wir für x einsetzen können, bestimmen wollen, müssen wir einfach Äquivalenzumformungen durchführen. Wir formen unsere Ungleichung so um, dass wir x alleine auf einer Seite zu stehen haben:

2·x - 5 > 2  | + 5

2·x - 5 + 5 > 2 + 5

2·x + 0 > 2 + 5

2·x > 7  | : 2

x > 3,5

Unsere Ungleichung ist somit erfüllt für alle x, die größer als 3,5 sind. Also zum Beispiel x = 3,6 oder x = 4.

Machen wir noch die Probe für x = 4:

2·x - 5 > 2  | x = 4

2·4 - 5 > 2

8 - 5 > 2

3 > 2

Diese Aussage ist wahr.

Besonderheit bei Multiplikation mit negativer Zahl

Wenn wir Äquivalenzumformungen machen, müssen wir jedoch auf eine wichtige Besonderheit aufpassen. Diese Besonderheit betrachten wir an einem weiterem Beispiel:

10 > 5

Diese Aussage ist wahr. Multiplizieren wir aber nun beide Seiten mit etwas Negativen, zum Beispiel (-2), so erhalten wir:

10 > 5 | · (-2)

-20 > -10 Das ist offensichtlich nicht wahr, denn -10 ist doch größer als -20. Die -10 steht weiter rechts auf dem Zahlenstrahl als die -20.

Richtig ist: -20 < -10

Was müssen wir also beachten?

Multiplizieren wir beide Seiten mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Verhältniszeichen.

Kleiner gleich und größer gleich

Es gibt noch zwei Erweiterungen für die Verhältniszeichen:

Das Zeichen heißt: … ist kleiner gleich

Das Zeichen heißt: … ist größer gleich

Diese Zeichen sagen aus, dass der Term wahr ist, wenn für beide Seiten das jeweilige Verhältniszeichen für "kleiner als" oder "größer als" gilt, und aber auch, wenn für beide Seiten Gleichheit gilt. Wir haben also zwei Terme, die als Gleichung und Ungleichung verknüpft sind.

Beispiel:

x + 2 ≤ 6

Wir können also unseren Term aufteilen in:

x + 2 < 6 und x + 2 = 6

Lösen wir einmal einzeln auf:

x + 2 < 6 | -2

x < 4

und

x + 2 = 6 | -2

x = 4

Wir sehen, dass wir die selben Äquivalenzumformungen benutzt haben. Das Ergebnis können wir zusammenfassen:

x < 4 und x = 4

Das ist das Selbe wie:

x ≤ 4

Wir können also die Umformungen auch mit dem Anfangsterm durchführen:

x + 2 ≤ 6 | -2

x ≤ 4

Der Term ist somit für alle x, die kleiner oder gleich 4 sind wahr.

Noch einige Beispiel hierzu:

Die Ungleichung 8 + x > 8 hat die Lösung: x > 0, das heißt, alle positiven Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr. Durch Verwendung des Größer-Gleich-Zeichens (8 + x ≥ 8) kommt für die Lösungsmenge auch noch die 0 hinzu.

Die Ungleichung 8 + x < 8 hat die Lösung: x < 0, das heißt, alle negativen Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr. Durch Verwendung des Kleiner-Gleich-Zeichens (8 + x ≤ 8) kommt auch noch die Null zur Lösungsmenge hinzu.

Bei der Ungleichung 8 + x ≠ 8 sollen die Werte beider Terme verschieden bleiben. Somit kommen alle Zahlen außer der 0 in Frage, da die Null dazu führen würde, dass 8 ≠ 8 da steht, doch 8 = 8.

Zusammenfassung

Zuletzt noch eine kleine Tabelle, in der wir unsere Ergebnisse zusammenfassen:

x > 3  →  x ist größer als 3. Die Lösungen sind zum Beispiel x = 3,5; x = 5; x = 6

x < 3  →  x ist kleiner als 3. Die Lösungen sind zum Beispiel x = 2,5; x = 1; x = -4

x ≥ 3  →  x ist größer gleich 3. Die Lösungen sind zum Beispiel x = 3; x = 5; x = 6

x ≤ 3  →  x ist kleiner gleich 3. Die Lösungen sind zum Beispiel x = 3; x = 2; x = -1

Sonderfall: Multiplizieren wir mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Verhältniszeichen:

> wird <

< wird >

≥ wird ≤

≤ wird ≥

Stellen wir zwei Zahlen gegenüber, so können wir eine Aussage treffen, welche größer und welche kleiner ist. Hierzu nutzen wir Verhältniszeichen (aussagenlogische Symbole).

Mathe-Programme

Wenn ihr die Lösung einer Ungleichung sucht, so könnt ihr diese bei wolframalpha.com eingeben und erhaltet dort die Antwort. Beispiel: 2x-4>8


Übungsaufgaben

Aufgabenblätter

Hier findest du 1 Aufgabenblatt, mit dem du dein Wissen testen kannst.

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Tags: Ungleichung umstellen, umformen und lösen, Äquivalenzumformung, Termumformung, größer, kleiner, größer-gleich, kleiner-gleich, Äquivalenz
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