Mathe F01: Kartesisches Koordinatensystem

Inhalte:

Voraussetzung:
Laut Lehrplan: 5. Klasse

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In dieser Lektion bringen wir euch bei, wie das Koordinatensystem aufgebaut ist, was Koordinaten überhaupt sind und wofür man sie benutzen kann. Vergesst nicht, die Lernprogramme zu den Koordinatensystemen auszuprobieren! Wir wünschen viel Spaß beim Verstehen.

F01 Kartesisches Koordinatensystem

Einführung ins Kartesische Koordinatensystem. Wir betrachten uns x-Achse (Abszisse) und y-Achse (Ordinate), Punkte mit Koordinaten und die vier Quadranten.

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Wissen zur Lektion

Abszisse und Ordinate

Die x-Achse ist die horizontale Achse (von links nach rechts). Auch "Abszisse" genannt.

Die y-Achse ist die vertikale Achse (von oben nach unten). Auch "Ordinate" genannt.

Die Achsenabschnitte (also die Abstände auf den Achsen) müssen immer gleich sein.

Punkte und Koordinaten

Ein Punkt wird als Kreuz eingezeichnet und meist mit großem Buchstaben beschriftet. Jeder Punkt muss einen eindeutigen Namen haben.

Die Koordinaten eines Punktes werden mit zwei Werten ( x | y ) angegeben bzw. ( Breite | Höhe ).

Im Punkt (0 | 0) treffen/schneiden sich x- und y-Achse. Man nennt diesen Punkt Koordinatenursprung und schreibt "0" heran. Dabei steht "0" für Null oder für "O" (Ohh), von lateinisch 'origo' = der Ursprung.

Quadranten

Ein Koordinatensystem hat vier Quadranten (siehe folgende Grafik). Das Wort kommt von lateinisch 'quadrens' = Viertel. Man benutzt römische Zahlen für ihre Nummerierung:

Koordinatensystem mit Quadranten

Das ist übrigens ein gutes Beispiel dafür, dass in der Mathematik stets entgegen des Uhrzeigersinns beschriftet wird.

Jeder Quadrant unterscheidet sich darin, dass die x- und y-Werte unterschiedlich positiv und negativ sind:

Koordinatensystem und positive und negative Quadranten

Merkt euch außerdem, dass Punkte, die auf den Achsen oder im Koordinatenursprung liegen, keinem Quadranten zugeordnet werden können. Sie haben die Koordinate/n 0 und Null ist weder positiv noch negativ, daher ist keine Zuordnung möglich.

Mathe-Programme

Mit den folgenden Programmen könnt ihr das Kartesische Koordinatensystem ausprobieren und besser kennen lernen. Bewegt die Maus und seht die x- und y-Koordinate direkt am Punkt P.

  • Koordinatensystem
    Koordinatensystem
    Bewegt die Maus im Koordinatensystem und seht die Koordinaten für x und y direkt am Punkt P. Werte gerundet. Klickt einmal mit der Maus und erhaltet genauere Werte.
  • Koordinatensystem (Linien)
    Koordinatensystem (Linien)
    Hier sind Höhe und Breite als farbige Linien eingezeichnet. Klickt auf Modus II, um die Position der Linien zu ändern. Sie liegen dann direkt auf den Achsen des Koordinatensystems.
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Übungsaufgaben

A: Allgemeine Fragen zum Koordinatensystem

1. Wie viele Achsen hat ein kartesisches Koordinatensystem? Wie verlaufen sie?

2. Wo muss man die Pfeile auf den Achsen eintragen?

3. Welche Achse ist die Abszisse und welche die Ordinate?

4. Müssen die Abstandsmarkierung auf den Achsen immer gleich groß sein?

5. Was ist ein Quadrant?

6. Wie viele Quadranten hat ein Koordinatensystem?

7. Wie nennt man den Ort, an dem sich x- und y-Achse schneiden? Dort ist x=0 und y=0.

8. Kann der x-Wert eines Punktes als Höhe oder Breite im Koordinatensystem gedeutet werden?

9. Warum heißt das Koordinatensystem "Kartesisches Koordinatensystem"? Nach wem wurde es benannt?

10. Ein Punkt kann mit Höhe und Breite angegeben werden, zum Beispiel A(2|3). Wie nennt man diese beiden Werte noch? Tipp: Ko.......en


B: Zeichne die Punkte ins Koordinatensystem ein und verbinde sie, sodass eine geometrische Figur entsteht.

1. Punkte A(1|-1) , B(3|0), C(3|2), D(1|1)

2. Punkte A(3|3) , B(1|3), C(-1|-1), D(2|-1)

3. Punkte A(-2|3) , B(-1|-2,5), C(0|0), D(1|2,5), E(-1|2)


C: Arbeiten mit dem Koordinatensystem

1. Lies alle Punkte aus dem Koordinatensystem ab und trage ihre Koordinaten ein.

Punkte aus Koordinatensystem ablesen

2. In welchem Quadrant liegt der jeweilige Punkt?
Punkt A(2000|3230) = ___ Quadrant
Punkt B(-0,5|0,5) = ___ Quadrant
Punkt C(-50|-12) = ___ Quadrant
Punkt D(0,01|-0,0005) = ___ Quadrant
Punkt E(0|0) = ___ Quadrant

3. Wir verschieben die folgenden Punkte, berechne ihre neuen Koordinaten:
a) Punkt F(0|0) verschieben wir 2 nach oben und 3 nach rechts
b) Punkt G(1|3) verschieben wir 2 nach unten und 1 nach links
c) Punkt H(-1|0) verschieben wir 2 nach unten und 1 nach links
d) Punkt I(3|-3) verschieben wir 1 nach oben und 2 nach rechts
e) Punkt J(4|-0,5) verschieben wir 3 nach unten, 0,5 nach links, 0,4 nach oben und 1 nach rechts
f) Punkt K(0,25|0,25) verschieben wir 4,25 nach unten, 3,75 nach links und 1 nach oben


D: Anwendungsaufgaben für Koordinatensysteme

1. Die x-Achse sei die Zeit. Die y-Achse sei der Weg. Ein Mann fährt mit seinem Auto los und schafft auf der Autobahn in 1 Stunde 80 km. Eine Stunde später hat er schon 160 km zurückgelegt. Noch eine Stunde später ist er bei 240 km. Zeichne diesen Sachverhalt in ein Koordinatensystem ein. Wähle eine sinnvolle Einteilung der Achsen.

2. Entsteht eine geschlossene geometrische Figur, wenn ihre Eckpunkte A(1|2), B(2|2), C(0|0), D(-1|2) sind? (A-B-C-D-A sind zu verbinden)

3. Verbinde die zwei Punkte P1(3|3) und P2(-1|-1). Und setze die Punkte T1(0|2) und T2(2|0), verbinde sie. Berühren sich die beiden Strecken? Wenn ja, in welchem Punkt?

4. Wähle die Koordinaten von 4 Punkten so, dass sie ein Quadrat im 1. Quadranten ergeben, dessen Seiten 3 Einheiten lang sind.

5. Wähle die Koordinaten von 4 Punkten so, dass sie ein Rechteck im 2. Quadranten ergeben.


Die Übungsaufgaben findet ihr hier:

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Tags: Einführung Koordinate, x- und y-Achse, Abszisse/Abzisse, Ordinate, Punkt mit Koordinaten einzeichnen, Descartes, Quadrant, Quadranten
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