Dreieck berechnen aus Seite a, Seite c, Winkel β (SWS)

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Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Sofern wir 3 Werte gegeben haben, können wir die fehlenden Werte berechnen.

Gegeben:
Seite a, Seite c, Winkel β

Gesucht:
Seite b, Winkel α, Winkel γ

Lösung:

1. Kosinussatz zum Bestimmen von Seite b:

\( b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cos(β) \\ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2·a·c·cos(β)} \)

2. Kosinussatz zum Bestimmen von Winkel α:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α) \\ a^2 - b^2 - c^2 = -2·b·c·\cos(α) \\ \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2·b·c} = \cos(α) \\ α = \arccos( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2·b·c} ) \\ \)

3. Winkelsummensatz zum Bestimmen von Winkel γ:

\( 180° = α + β + γ \\ γ = 180° - α - β \)