Kartesisches Produkt

Lesedauer: 3 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Die Bezeichnung kartesisches Produkt ist der Geometrie entlehnt. Sie impliziert die Vorstellung von orthogonalen Beziehungen zwischen den beteiligten Mengen.

Das kartesische Produkt einer Menge führt zu einer neuen Menge, deren Elemente Vektoren sind. Im Falle von zwei Ausgangsmengen entsteht eine Menge geordneter Paare A × B (sprich: „A Kreuz B“).

Dabei werden die Vektoren durch vollständige Kombination aller Elemente der Ausgangsmengen gebildet. Ihre Mächtigkeit berechnet sich aus dem Produkt der Kardinalzahlen der Ausgangsmengen.

Das kartesische Produkt von zwei Mengen:

\( \begin{align} A × B & = \{ (a,b)|a∈A \text{ und } b∈B \} \\ A × B & = \{ (a,b)|a∈A ∧ b∈B \} \quad \text{(aussagenlogisch)} \\ |A × B| & = |A| |B| \end{align} \) Gl. 18

Beispiel:

Es seien A = {1, 2, 3} und B = {2, 3}, dann ist das kartesische Produkt von A × B gleich:

\( \begin{align} A × B = & \{ (1,2), (1,3) \\ & (2,2), (2,3) \\ & (3,2), (3,3) \} \end{align} \)

Das kartesische Produkt von beliebig vielen Mengen:

\( A × B × C ... × M = \{ (a, b, c, ... m) | a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C ... ∧ m ∈ M \} \\ |A × B × C ... × M| = |A| |B| |C| ... |M| \) Gl. 19

Das Kartesische Produkt ist wichtig, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben: So kann die Ebene als das kartesische Produkt zweier Geraden (x- und y-Achse) aufgefasst werden, indem jeder Punkt dieser Fläche benannt wird. Dem entsprechend ist das kartesische Produkt von drei Geraden die Beschreibung eines Würfels.

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