Grundbegriffe der Mengenlehre
Die Mengenlehre geht auf Georg CANTOR (1845 - 1918) zurück. Sie ist eines der vier Teilgebiete der mathematischen Logik. Ihre Sprache ist die Prädikatenlogik und dient der gesamten Mathematik als Basistheorie. Mit den Begriffen und Methoden der Mengenlehre können mathematische Probleme oder Aussagen kurz und exakt formuliert werden. Insbesondere für die Formulierung mathematischer Beweise ist die Mengenlehre fundamental wichtig.
Im mathematischen Sinn ist eine Menge eine (i.d.R. ungeordnete) Zusammenfassung von Elementen, denen eine (oder auch mehrere) Eigenschaft(en) gemeinsam sind. Dennoch müssen die Elemente unterscheidbar sein.
Identische Elemente werden, auch wenn sie mehrfach auftreten, nur einmal gezählt.
Die Reihenfolge der Elemente in der Menge ist unwichtig.
Schreibweise
Eine Menge kann auf unterschiedliche Art beschrieben werden:
a) durch Angabe aller zur Menge M gehörenden Elemente e:
\( M = \left\{ { {e_1},{e_2},{e_3} \ldots } \right\} \) Gl. 9
z.B. \(M = \left\{ {1,2,3 \ldots } \right\}\) M ist hier die Menge der natürlichen Zahlen.
b) durch Angabe einer definierenden Eigenschaft:
\(M = \{ x|x = Ausdruck\} \) Gl. 10
Lies: M ist die Menge aller x, für die der Ausdruck AUSDRUCK gilt.
z.B. \( M = \left\{ {x|x \text{ ist eine ungerade natürliche Zahl } } \right\} \) oder gleichwertig
\( M = \left\{ {x|x\, = 2n - 1} \right\}; \quad n \in N \)
Die Schreibweise nach a) ist z.B. im Umgang mit großen, d.h. umfangreichen, Mengen nicht immer praktisch, manchmal auch ungenau. Weil die Schreibweise nach b) genauer ist, ist sie der Schreibweise nach a) vorzuziehen.
Ist e ein Element der Menge M, so schreibt man:
\(e \in M\) Gl. 11
Lies: e ist Element der Menge M.
Sonst
\(e \notin M\) Gl. 12
Lies: e ist nicht Element der Menge M.
Eine Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge.
\( M= \{ \} = Æ \) Gl. 13
Beispiel:
Die Menge der unsterblichen Menschen ist leer.
Die bereits von der Prädikatenlogik bekannten Quantoren finden auch und insbesondere in der Mengenlehre Anwendung.
Zur Erinnerung:
Soll von einer Menge gesagt werden, dass sie (zumindest) ein Element mit einer gewissen Eigenschaft enthält, dann ist die Verwendung der Phrase es existiert ein (Symbol $) gebräuchlich. Formal kann das so ausgedrückt werden:
\( \exists \,e \in M,\,\,welches... \) Gl. 14
Lies: Es existiert ein e (der Menge M)...
Manchmal soll von einer Menge gesagt werden, dass alle ihre Elemente eine gewisse Eigenschaft erfüllen.
Für die Phrase für alle ist das Symbol " gebräuchlich.
Formal kann das so ausgedrückt werden:
\( \forall \,e \in M,\,\,welche... \) Gl. 15
Lies: für alle e (der Menge M)...