Kleinstes und größtes Element, minimale und maximale Elemente
Ein x∈M heißt minimales Element, wenn es kein ∀y∈M gibt, für das y ≤ x gilt.
Ein x∈M heißt kleinstes Element, wenn x ≤ y für ∀y∈M. Das kleinste Element heißt auch Infimum (untere Schranke) der Menge.
Ein minimales Element ist ein Element, das von keinem anderen untertroffen wird. Ein kleinstes Element ist eines, das jedes andere untertrifft.
Eine Menge kann nur ein kleinstes, wohl aber mehrere minimale Elemente haben. Hat eine Menge ein kleinstes Element, dann ist es auch minimal.
Analog gilt
Ein x∈M heißt maximales Element, wenn es kein ∀y∈M gibt, für das y ≥ x gilt.
Ein x∈M heißt größtes Element, wenn x ≥ y für ∀y∈M gilt. Das kleinste Element heißt auch Supremum (obere Schranke) der Menge.
Ein maximales Element ist ein Element, das von keinem anderen übertroffen wird. Ein größtes Element ist eines, das jedes andere übertrifft.
Je nach Eigenschaft(en) werden verschiedene Ordnungen unterschieden. Die wichtigsten sind: