Zuordnungen

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Einführung Zuordnung

Eine Zuordnung (auch Abbildung) von Elementen einer Menge zu Elementen einer anderen Menge führt zu neuen Mengen von Elementen geordneter Paare. Die Zuordnungsvorschrift wird Funktion genannt.

Um eine Zuordnung deutlich zu machen, kann man sich der anschaulichen Darstellung des VENN-Diagramms bedienen (siehe Abbildung 9) oder die formale Darstellung der geordneten Paare in der Mengen-Symbolik wählen.

Bildungsregel

Elemente der Menge A = {a1, a2, a3, a4, a5, ...} werden Elementen der Menge B = {b1, b2, b3, b4, b5, ...} in einer durch die Abbildungsfunktion, auch Relation genannt, so miteinander verknüpft, dass je ein Element der ersten Menge mit einem bestimmten Element der zweiten Menge zu einem Paar zusammen gefasst wird.

Eine solche Zuordnung wäre z.B.:

\( \text{Menge C} = \{ (a_1, b_1); (a_2, b_2); (a_3, b_3); (a_4, b_4); ... \} \)

aber auch

\( \text{Menge D} = \{ (a_1, b_4); (a_2, b_3); (a_3, b_2); (a_4, b_1); ... \} \)

ist eine mögliche Zuordnung.

Dabei ist es nicht zwingend, dass alle Elemente der beteiligten Mengen miteinander verknüpft sind. Jedoch geht die Zuordnung immer von einem Element der linken Menge zu einem durch die Funktion bestimmten Elemente der rechten Menge. Grundsätzlich geht von den Elementen der linken Menge nur ein Zuordnungspfeil aus und weist auf nur ein Element der rechten Menge.

Abbildung 9 Venn-Diagramm für Zuordnung (Abbildung)
Abbildung 9: Venn-Diagramm für Zuordnung (Abbildung)

Es sei erwähnt, dass die Menge, von der die Verknüpfung ausgeht,Originalmenge, und die Menge, auf die verwiesen wird, Bildmenge genannt wird.

Die in Abbildung 9 dargestellt Zuordnung ist eine eindeutige Zuordnung. Sie wird auch linkseindeutig genannt, weil zu genau jedem Element der linken Menge ein Element der rechten Menge zugeordnet wird. Eine Zuordnung zu mehreren Elementen der rechten Menge ist auch möglich, aber dann ist sie nicht mehr linkseindeutig.

Arten von Zuordnungen

Nicht jede Abbildung ist automatisch eine Funktion. So ist die Benotung einer Klassenarbeit, d.h. die Zuordnung von Zensuren (Originalmenge) zu Schülern (Bildmenge) keine Funktion. Denn es wird sicherlich mehrere Schüler geben, die die gleiche Zensur erhalten haben. Von einer Zensur müssten dann mehrere Pfeile ausgehen. Dies widerspricht der Forderung der Linkseindeutigkeit.

Beispiel:

Eine Sohn-Vater-Relation ist linkseindeutig. Da jeder Sohn nur einen Vater haben kann. Die Vater-Sohn-Relation ist hingegen nicht linkseindeutig, da ein Vater mehrere Söhne habe kann.

Aussage:

Jedem Sohn (Menge A) ist genau ein Vater (Menge B) zugeordnet.

Neben der eindeutigen Zuordnung „aus A folgt B“ wie sie Abbildung 9 zeigt, gibt es ferner die in Abbildung 10 gezeigte umkehrbar eindeutige Zuordnung, auch ein-eindeutige Zuordnung „A ist äquivalent B“ genannt. D.h. jedem Element der Originalmenge ist ein Element der Bildmenge und umgekehrt zugeordnet.

Abbildung 10 Venn-Diagramm: Umkehrbar eindeutige Zuordnung (ein-eindeutig)
Abbildung 10: Venn-Diagramm: Umkehrbar eindeutige Zuordnung (ein-eindeutig)

Beispiel:

Eine Haus-Hausnummer-Zuordnung ist ein-eindeutig. Nur eine umkehrbar eindeutige Nummerierung von Wohnhäusern ist sinnvoll.

Aussage:

Jedem Haus in der Straße (Menge A) ist eine Hausnummer (Menge B) zugeordnet.

In Abbildung 11 wird eine mehrdeutige Zuordnung gezeigt. Mehrere Elemente der Originalmenge verweisen auf ein Element der Bildmenge.

Abbildung 11 Venn-Diagramm: Mehrdeutige Zuordnung
Abbildung 11: Venn-Diagramm: Mehrdeutige Zuordnung

Beispiel:

Eine Einwohner-Haus-Zuordnung ist mehrdeutig. In einem Haus können mehrere Bewohner leben.

Aussage:

Jeder Einwohner des Hauses (Menge A) ist einem Haus (Menge B) zugeordnet.

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