Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs

Lesedauer: 6 min | Vorlesen | Autor: Dr. Volkmar Naumburger

Im Bereich der Zahlen sind Funktionen von elementarer Bedeutung. Funktionen bilden Werte der unabhängigen Variablen x auf Funktionswerte y ab: x → y. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage „Die Menge X wird auf die Menge Y abgebildet“:

\( f : X → Y \) Gl. 20

Abbildung 12 Venn-Diagramm: Funktionen Zuordnung Variablen und Funktionswerte
Abbildung 12: Venn-Diagramm: Funktionen Zuordnung Variablen und Funktionswerte

Umgekehrt können die Funktionswerte y ihren Originalwerten x zu geordnet werden. Dies leistet die Umkehrfunktion

\( f^{-1} : Y → X \) Gl. 21

Werden mehrere Abbildungen nacheinander angewandt, kommt die Kettenregel zur Anwendung (Abbildung 13).

Abbildung 13 Venn-Diagramm: Kettenregel
Abbildung 13: Venn-Diagramm: Kettenregel

Die Originalmenge X wird durch die Funktion f der Menge Y und diese wiederum durch die Funktion g der Menge Z zugeordnet. Die Anwendung der Kettenregel vermeidet den Umweg über die Zwischenmenge Y, indem die Einzelfunktionen f und g zu einer neuen Funktion \( (f \circ g) \) zusammengefasst werden.

Eine Funktion f heißt injektiv, wenn verschiedene Argumente x niemals den gleichen Funktionswert y haben.

\( x_1 ≠ x_2 ⇒ f(x_1) ≠ f(x_2) \) Gl. 22

Beispiel:

Die Funktion y = x + 1 ist injektiv. Die Funktion y = x² hingegen ist nicht injektiv, da zum Beispiel (-x)² = (+x)².

Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn zu jedem Funktionswert y (des Wertebereiches Y) wenigstens ein Wert x (des Definitionsbereiches X) existiert.

\( y = f(x), \; y ∈ Y ⇒ ∃ x ∈ X \) Gl. 23

Beispiel:

Die Funktion \( y = x + 1 \) mit \( y, x ∈ ∞ \) ist surjektiv, da es für jedes y ein zugehöriges x gibt. Die Funktion \( y = x^2 \) mit \( y, x ∈ ∞ \) ist hingegen nicht surjektiv, da es z.B. für y = 2 kein \( x ∈ ∞ \) gibt. Ebenso ist \( y, x ∈ \mathbb{R} \) nicht surjektiv, da es für y = -1 kein \( x ∈ \mathbb{R} \) gibt. Aber für \( x ∈ \mathbb{R} \) und \( y ∈ \mathbb{R}^{+} \) ist \( y = x^2 \) surjektiv!

Eine Funktion f heißt bijektiv, wenn zu jedem Wert x genau ein Funktionswert y existiert, also injektiv und surjektiv ist.

Beispiel:

Bijektive Funktion Abbildung BF

\( f: R→R \) ist f(x) nicht injektiv und nicht surjektiv, denn die Abbildung ist nicht eindeutig und es gibt nicht zu jedem y ein x.

\( f: R | x ≥ 0 → R \) ist f(x) injektiv aber nicht surjektiv, denn die Abbildung ist zwar eindeutig, aber noch immer fehlt zu jedem y das passende x.

\( f: R → R | y ≥ 1 \) ist f(x) nicht injektiv aber surjektiv, denn die Abbildung ist nicht eindeutig, aber es gibt zu jedem y mindestens ein x.

\( f: R | x ≥ 0 → R | y ≥ 1 \) ist f(x) bijektiv (injektiv und surjektiv), denn die Abbildung ist eindeutig und es gibt zu jedem y ein x.

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