Herleitung vom Kosinussatz

Es sei uns ein allgemeines Dreieck gegeben, in dem wir die Höhe hc einzeichnen. Gesucht sei der Zusammenhang zwischen a, b und c. Wir suchen einen Ausdruck für b2, der nur von a, b und den 3 Winkeln α, β, γ abhängt.

Drücken wir zuerst Seite b über den Pythagoras aus:

b2 = h2 + d2

Drücken wir a über den Pythagoras aus:

a2 = h2 + e2

Nun stellen wir die Formel von a2 nach h2 um:

h2 = a2 - e2

Jetzt können wir dieses h2 in die Formel von b2 einsetzen:

b2 = h2 + d2   | h2 = a2 - e2

b2 = (a2 - e2) + d2

Das d stört noch, schauen wir auf das Dreieck, wir erkennen, dass sich d als Teilstrecke von c ergibt. Die Strecke d ergibt sich mit: d = c - e. Setzen wir diese für d ein:

b2 = (a2 - e2) + d2   | d = c - e

b2 = (a2 - e2) + (c - e)2

b2 = a2 - e2 + c2 - 2ce + e2

b2 = a2 - e2 + e2 + c2 - 2ce

b2 = a2 + c2 - 2ce

Als nächstes gilt es noch das e zu ersetzen. Erinnern wir uns, wir wollen eine Formel, die nur 3 Seiten und einen Winkel benötigt. e können wir über den Kosinus von β ausdrücken:

cos(β) = AK / HY = e / a

Dies nach e umgestellt: e = cos(β) · a

Setzen wir dies in unsere aktuelle Formel ein:

b2 = a2 + c2 - 2·c·e   | e = cos(β) · a

b2 = a2 + c2 - 2·c·(cos(β) · a)

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β)

Und dies ist auch schon der Kosinussatz. Wir haben alle 3 Seiten des Dreiecks (a, b, c) und nur 1 Winkel in der Formel. So lässt sich nun, wenn wir 2 Seiten gegeben haben und den einschließenden Winkel die 3. Seite berechnen. Oder wenn wir alle 3 Seiten gegeben haben, können wir einen fehlenden Winkel berechnen (und dann alle anderen).

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